1. Como são determinados os índices de uma direção cristalográfica numa célula unitária cúbica?

Passo 1

O enunciado pede como obter os índices de direção cristalográfica numa célula unitária cúbica. O conteúdo aqui é o uso de vetores em rede e a definição de índices de direção (Miller de direções), que se notam por [u\,v\,w]. Para resolver, vamos precisar:
  1. Escolher dois pontos de rede (geralmente a origem e outro ponto)
  2. Determinar o vetor que liga esses pontos
  3. Expressar as componentes desse vetor em unidades do parâmetro de rede a
  4. Eliminar frações para obter índices inteiros

Passo 2

Escolha dois pontos de rede. O ponto 1 pode ser a origem (0,0,0) e o ponto 2 um ponto de retículo com coordenadas (x_2,y_2,z_2) em unidades de comprimento. As coordenadas devem corresponder a nós da rede cúbica.

Passo 3

Forme o vetor que vai de (0,0,0) até (x_2,y_2,z_2):
\vec{r} = (x_2 - 0,\;y_2 - 0,\;z_2 - 0) = (x_2,\;y_2,\;z_2).

Passo 4

Como a célula é cúbica, cada aresta mede a. Logo, as componentes em unidades de a são
\frac{x_2}{a},\quad \frac{y_2}{a},\quad \frac{z_2}{a}.

Passo 5

Elimine eventuais frações multiplicando cada componente pelo mesmo número inteiro mínimo que transforme todas em inteiras. Suponha que
\frac{x_2}{a} = \frac{p}{q},\quad \frac{y_2}{a} = \frac{r}{q},\quad \frac{z_2}{a} = \frac{s}{q}.
Multiplicando tudo por q obtemos os inteiros p,r,s.

Passo 6

Os índices de direção cristalográfica são então
[u\,v\,w] = [p\;r\;s].
Se algum dos inteiros for negativo, usa-se uma “barra” sobre o número, por exemplo [\bar{1}\,2\,0].

Resposta

Os índices de uma direção numa célula cúbica são obtidos ligando-se dois nós da rede, expressando as componentes do vetor ligador em unidades do parâmetro de rede a e eliminando frações para chegar a três inteiros [u\,v\,w].

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