Se A e B são matrizes n times n invertíveis, mostre que det A=det B se e somente se A=U B para uma matriz U tal que det U=1.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes ntimes n invertíveis e pede para mostrar que
det A = det B
se e somente se existe uma matriz U tal que
A = U,B e det U = 1
O que vamos usar é a propriedade fundamental dos determinantes:
det(PQ)=det P;det Q,
e o fato de que, se B é invertível, então existe B^-1 com
det(B^-1)=(det B)^-1.

Passo 2

( Rightarrow) Suponha det A=det B. Como B é invertível, definimos
U = A,B^-1
Então claramente
A = U,B
e, aplicando a propriedade de determinantes,
det U = detl(A,B^-1r) = det A;detl(B^-1r) = det A,1det B = det Adet B = 1
Logo encontramos U com det U=1 tal que A=U,B.

Passo 3

( Leftarrow) Agora suponha que exista U com det U=1 e A=U,B. Então
det A = detl(U,Br) = det U;det B = 1cdotdet B = det B,
o que mostra a implicação inversa.

Resposta

Basta tomar
U = A,B^-1,
pois daí A=U,B e det U=det A/det B=1, e o recíproco segue de det(U,B)=det Udet B.

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