Se
e
são matrizes
invertíveis, mostre que
se e somente se
para uma matriz
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes
invertíveis e pede para mostrar que
se e somente se existe uma matriz
tal que
O que vamos usar é a propriedade fundamental dos determinantes:
e o fato de que, se
é invertível, então existe
com
.
Passo 2
(
) Suponha
. Como
é invertível, definimos
Então claramente
e, aplicando a propriedade de determinantes,
Logo encontramos
com
tal que
.
Passo 3
(
) Agora suponha que exista
com
e
. Então
o que mostra a implicação inversa.
Resposta
Basta tomar
pois daí
e
, e o recíproco segue de
.