O número de contratos fechados por 20 vendedores foi:
15,16,16,18,18,18,20,20,20,20,22,25,25,25,28,30,30,30,30,35
a) Calcule o \mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{2} (mediana) e \mathrm{Q}_{3}.
b) Calcule a amplitude interquartílica
c) Calcule as bordas inferior e superior
d) Construa o boxplot desses dados (pode ser à mão ou no Geogebra ou outro software).
e) Identifique possíveis outliers (se houver).
f) Explique o que o gráfico mostra sobre a distribuição do desempenho dos vendedores.

Passo 1

O enunciado dá a lista ordenada dos números de contratos fechados por 20 vendedores:
15,16,16,18,18,18,20,20,20,20,22,25,25,25,28,30,30,30,30,35
As perguntas são:
a) Calcular \mathrm{Q}_{1},\\ \mathrm{Q}_{2} (mediana) e \mathrm{Q}_{3}.
b) Calcular a amplitude interquartílica.
c) Calcular as bordas inferior e superior (fences).
d) Construir o boxplot (instruções para desenhar e os valores necessários).
e) Identificar possíveis outliers (se houver).
f) Explicar o que o gráfico mostra sobre a distribuição do desempenho dos vendedores.

Passo 2

Como vamos calcular os quartis: vou usar a regra prática muito comum baseada nas posições fracionárias com n observações (é simples e funciona bem para provas rápidas). Para uma amostra com n observações ordenadas, as posições dos quartis são dadas por
\text{posição de }\mathrm{Q}_1=\frac{n+1}{4},\qquad \text{posição de }\mathrm{Q}_2=\frac{n+1}{2},\qquad \text{posição de }\mathrm{Q}_3=\frac{3(n+1)}{4}.çãçãçã
Aqui n é o número total de observações (cada observação é um número de contratos). Se a posição der inteira, o quartil é o valor nessa posição; se der fracionária, interpolamos entre os dois valores próximos (linearmente), ou seja: se a posição for k+\delta com 0<\delta<1, então
\text{quartil}=x_k+\delta\,(x_{k+1}-x_k),
onde x_k é o k-ésimo dado ordenado. Essa é a técnica que vou aplicar passo a passo.

Passo 3

Calcular as posições dos quartis com n=20:
\text{posição de }\mathrm{Q}_1=\frac{20+1}{4}=\frac{21}{4}=5{,}25,çã
\text{posição de }\mathrm{Q}_2=\frac{21}{2}=10{,}5,çã
\text{posição de }\mathrm{Q}_3=\frac{3\cdot21}{4}=\frac{63}{4}=15{,}75.çã
Isso significa que \mathrm{Q}_1 fica entre a 5ª e a 6ª observação, \mathrm{Q}_2 entre a 10ª e a 11ª, e \mathrm{Q}_3 entre a 15ª e a 16ª — então faremos a interpolação onde for necessário. Vou agora listar as observações com seus índices para facilitar:
\begin{array}{r|rrrrrrrrrr} \text{índice}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\hline \text{valor}&15&16&16&18&18&18&20&20&20&20 \end{array}í
\begin{array}{r|rrrrrrrrrr} \text{índice}&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\hline \text{valor}&22&25&25&25&28&30&30&30&30&35 \end{array}í

Passo 4

Calcular \mathrm{Q}_1. A posição é 5{,}25, isto é k=5 e \delta=0{,}25. Os valores relevantes são x_5=18 e x_6=18. Aplicando a interpolação:
\mathrm{Q}_1 = x_5 + 0{,}25\,(x_6-x_5)=18+0{,}25\,(18-18)=18.
Comentário didático: como x_5 e x_6 são iguais, qualquer interpolação entre eles dá o mesmo número: \mathrm{Q}_1=18.

Passo 5

Calcular \mathrm{Q}_2 (mediana). A posição é 10{,}5, isto é entre x_{10} e x_{11} com \delta=0{,}5. Os valores são x_{10}=20 e x_{11}=22. A interpolação dá:
\mathrm{Q}_2 = 20 + 0{,}5\,(22-20)=20+0{,}5\cdot2=20+1=21.
Observação prática: para n par, a mediana também é comumente calculada como a média aritmética dos dois valores do meio; aqui (20+22)/2=21, mesmo resultado.

Passo 6

Calcular \mathrm{Q}_3. A posição é 15{,}75, isto é k=15 e \delta=0{,}75. Os valores são x_{15}=28 e x_{16}=30. Interpolando:
\mathrm{Q}_3 = 28 + 0{,}75\,(30-28)=28+0{,}75\cdot2=28+1{,}5=29{,}5.

Passo 7

Calcular a amplitude interquartílica (IQR). Fórmula:
\mathrm{IQR}=\mathrm{Q}_3-\mathrm{Q}_1.
Substituindo os valores obtidos:
\mathrm{IQR}=29{,}5-18=11{,}5.

Passo 8

Calcular as bordas (fences) inferior e superior usadas para detectar outliers. As fórmulas são:
\text{borda inferior}= \mathrm{Q}_1 - 1{,}5\cdot\mathrm{IQR}, \qquad \text{borda superior}= \mathrm{Q}_3 + 1{,}5\cdot\mathrm{IQR}.
Substituindo:
\text{borda inferior}=18-1{,}5\cdot11{,}5=18-17{,}25=0{,}75,
\text{borda superior}=29{,}5+1{,}5\cdot11{,}5=29{,}5+17{,}25=46{,}75.
Interpretação: quaisquer observações menores que 0{,}75 ou maiores que 46{,}75 seriam consideradas outliers segundo a regra dos 1,5 IQR. No nosso conjunto mínimo é 15 e o máximo é 35, ambos dentro das bordas, logo não há outliers.

Passo 9

Preparar o boxplot (instruções práticas e os valores a usar). Para desenhar o boxplot à mão:
  • Marque uma escala no eixo horizontal que cubra pelo menos de 15 até 35 (pode estender um pouco além).
  • Desenhe um retângulo (a caixa) que vá de \mathrm{Q}_1=18 até \mathrm{Q}_3=29{,}5.
  • Dentro da caixa, trace uma linha vertical na mediana \mathrm{Q}_2=21.
  • Os “whiskers” (linhas que saem da caixa) vão até os valores extremos não-outliers: no lado inferior até o mínimo 15, e no lado superior até o máximo 35.
  • Se houvesse outliers, desenham-se pontos individuais além das bordas; aqui não há pontos além das bordas.
    Resumo dos cinco números (úteis para desenhar):
\text{mínimo}=15,\quad \mathrm{Q}_1=18,\quad \mathrm{mediana}=21,\quad \mathrm{Q}_3=29{,}5,\quad \text{máximo}=35.íá

Passo 10

Identificar outliers: usando as bordas calculadas:
0{,}75\le x \le 46{,}75
todos os dados estão dentro desse intervalo. Portanto não há outliers neste conjunto de dados.

Passo 11

Interpretação do boxplot / o que o gráfico mostra (explicação didática e em tom de amigo):
  • Tendência central: a mediana é \mathrm{Q}_2=21, ou seja, metade dos vendedores fechou até cerca de 21 contratos.
  • Dispersão: a caixa vai de 18 a 29{,}5, então o 50% central dos vendedores (entre os quartis) varia por cerca de 11{,}5 contratos. Isso dá uma noção do spread típico do desempenho.
  • Assimetria: a mediana está mais próxima de \mathrm{Q}_1 do que de \mathrm{Q}_3 (distância da mediana a \mathrm{Q}_1 é 3, enquanto a distância a \mathrm{Q}_3 é 8{,}5). Além disso, a média amostral calculada rapidamente é \bar{x}=\dfrac{461}{20}=23{,}05, que é maior que a mediana; esses dois indícios dizem que a distribuição é levemente assimétrica à direita (skewed positivamente): há uma cauda um pouco mais longa em direção a valores maiores (vendedores de alto desempenho).
  • Outliers: não foram identificados outliers pela regra dos 1{,}5 IQR, então não há observações extremas fora do padrão esperado.
  • Conclusão prática: a maioria dos vendedores está concentrada entre aproximadamente 18 e 30 contratos, com alguns que se destacam acima de 28 35, mas sem extremos fora do esperado. Em termos de avaliação, há um núcleo estável de desempenho e alguns bons desempenhos, sem casos absurdamente discrepantes.

Resposta

a) \mathrm{Q}_1=18, \mathrm{Q}_2=21, \mathrm{Q}_3=29{,}5
b) \mathrm{IQR}=11{,}5
c) borda inferior =0{,}75, borda superior =46{,}75
d) cinco-números para o boxplot: mínimo =15, \mathrm{Q}_1=18, mediana =21, \mathrm{Q}_3=29{,}5, máximo =35 (desenhar caixa de 18 a 29{,}5, linha da mediana em 21, whiskers até 15 e 35)
e) Não há outliers segundo a regra dos 1{,}5 IQR.
f) O boxplot mostra distribuição levemente assimétrica à direita (média 23{,}05> mediana 21), com a maior concentração de vendedores entre 18 e 29{,}5 contratos; há bons desempenhos (valores em torno de 30 35) mas sem observações extremamente discrepantes.

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