Considere a transformação linear
dada por
Sabe-se que
é um autovetor de
com autovalor correspodente
. Qual o valor da coordenada
?
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e informa que o vetor
é um autovetor de
com autovalor correspondente
.
A pergunta é: qual é o valor da coordenada ?
A pergunta é: qual é o valor da coordenada
Passo 2
Lembrete do que significa ser autovetor/ autovalor (bem devagarinho): se um vetor
é autovetor de
com autovalor
, então
Aqui
e
. Logo devemos ter
Isto gera duas igualdades escalares — uma para cada coordenada — que vamos escrever a seguir.
Passo 3
Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada, a primeira coordenada nos dá
Agora resolvemos essa equação para
. Primeiro somamos
em ambos os lados:
Isso simplifica para
Dividindo ambos os lados por
(para simplificar), obtemos
Agora dividimos ambos os lados por
(que é diferente de zero), ficando
Passo 4
Por segurança (sempre bom checar) conferimos a segunda coordenada: a igualdade para a segunda coordenada é
Somando
e reorganizando:
Dividindo ambos os lados por
(para simplificar), notamos que
e
, logo
que implica novamente
As duas coordenadas dão a mesma resposta, então está consistente.
Passo 5
Conclusão: a coordenada
que torna
um autovetor de
com autovalor
é
. Força aí — já era só resolver duas equações lineares simples!