Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x, y)=(927 x-370 y, 2325 x-928 y)
Sabe-se que (\boldsymbol{a}, \mathbf{9 3}) \in \mathbf{R}^{\mathbf{2}} é um autovetor de \boldsymbol{T} com autovalor correspodente -\mathbf{3}. Qual o valor da coordenada \boldsymbol{a} ?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y) = (927x - 370y,\; 2325x - 928y)
e informa que o vetor (a,\,93) é um autovetor de T com autovalor correspondente -3.
A pergunta é: qual é o valor da coordenada a?

Passo 2

Lembrete do que significa ser autovetor/ autovalor (bem devagarinho): se um vetor v é autovetor de T com autovalor \lambda, então
T(v) = \lambda v.
Aqui v=(a,\,93) e \lambda = -3. Logo devemos ter
T(a,\,93) = -3\,(a,\,93).
Isto gera duas igualdades escalares — uma para cada coordenada — que vamos escrever a seguir.

Passo 3

Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada, a primeira coordenada nos dá
927a - 370\cdot 93 = -3a.
Agora resolvemos essa equação para a. Primeiro somamos 3a em ambos os lados:
927a + 3a = 370\cdot 93.
Isso simplifica para
930a = 370\cdot 93.
Dividindo ambos os lados por 10 (para simplificar), obtemos
93a = 37\cdot 93.
Agora dividimos ambos os lados por 93 (que é diferente de zero), ficando
a = 37.

Passo 4

Por segurança (sempre bom checar) conferimos a segunda coordenada: a igualdade para a segunda coordenada é
2325a - 928\cdot 93 = -3\cdot 93.
Somando 928\cdot 93 e reorganizando:
2325a = (928-3)\cdot 93 = 925\cdot 93.
Dividindo ambos os lados por 25 (para simplificar), notamos que 2325/25=93 e 925/25=37, logo
93a = 37\cdot 93,
que implica novamente
a = 37.
As duas coordenadas dão a mesma resposta, então está consistente.

Passo 5

Conclusão: a coordenada a que torna (a,\,93) um autovetor de T com autovalor -3 é 37. Força aí — já era só resolver duas equações lineares simples!

Resposta

37

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