Se A, B, C são números tais que
\frac{298 x^{2}+73 x-79}{x^{3}-x}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}
então \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C} é igual a

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
\frac{298x^{2}+73x-79}{x^{3}-x}
no formato \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1} e, em seguida, o valor de A - B + C. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais de uma razão de polinômios.

Passo 2

Escrevemos
\frac{298x^{2}+73x-79}{x(x-1)(x+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}
e, ao colocar tudo sobre o mesmo denominador, obtemos a igualdade de numeradores
A\,x(x+1)+B\,(x-1)(x+1)+C\,x(x-1)=298x^{2}+73x-79.

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo e coletando termos de potências iguais de x, temos
(A+B+C)x^{2} \;+\;(A-C)x\;-\;B \;=\;298x^{2}+73x-79.
Igualando coeficientes, surge o sistema
\begin{cases} A+B+C=298,\\\ A-C=73,\\\\ -B=-79. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem B=79. Da segunda, A=C+73. Substituindo na primeira:
(C+73)+79+C=298 \;\Rightarrow\;2C+152=298 \;\Rightarrow\;C=73,
logo A=73+73=146.

Resposta

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