O que são orbitais degenerados? Exemplifique.
Passo 1
O que a pergunta pede:
- Explicar, de forma clara e didática, o que significa dizer que dois ou mais orbitais são degenerados.
- Dar exemplos concretos que mostrem situações com orbitais degenerados e também situações em que a degenerescência é rompida.
Informações relevantes a usar (nenhuma informação extra do enunciado foi dada; vou usar conceitos fundamentais da física atômica e mecânica quântica para responder).
Passo 2
Definição física e matemática de degenerescência (passo devagar, sem pular etapas).
- Em mecânica quântica um sistema é descrito por um Hamiltoniano, que é um operador
. Os estados estacionários são as funções próprias de , isto é, funções que satisfazem a equação própria
onde
é o autovalor (a energia) e
é o autovetor (o estado/onda).
- Dois estados diferentes
e chamam-se degenerados se eles pertencem ao mesmo autovalor, isto é,
com
(não são múltiplos um do outro). Em palavras: “vários estados diferentes, mesma energia”.
- A multiplicidade de um autovalor
(ou seja, o número de estados linearmente independentes com energia ) é chamada grau de degenerescência.
Comentários práticos e intuitivos: degenerescência é uma «igualdade de preço» em energia — várias maneiras distintas de ter o mesmo valor energético. Isso costuma ocorrer quando existe alguma simetria no problema.
Passo 3
Por que a degenerescência aparece — relação com simetria (explicação didática).
- Se o Hamiltoniano
tem uma simetria (por exemplo é invariante por rotações), então existe um operador associado a essa simetria que comuta com . Quando dois operadores comutam é possível escolher estados que sejam autovetores de ambos simultaneamente. - Exemplo de operador relacionado a rotações: o momento angular
. Em potenciais centrais ( , depende só da distância ao núcleo) o Hamiltoniano comuta com e com . Isso garante que podemos rotular estados por , e , onde -
= número quântico principal, -
= momento angular orbital (inteiro, ), -
= projeção do momento angular ( ).
-
- Para um dado
existem valores possíveis de . Se a energia não depende de (o que acontece quando o potencial é esfericamente simétrico), então esses estados formam um conjunto degenerado.
Passo 4
Exemplo simples: degenerescência em orbitais
e
.
- Para
(orbitais ) temos , isto é estados. Em um potencial esférico sem campos externos esses três estados são energeticamente equivalentes: normalmente chamamos de , e (combinações lineares dos harmônicos esféricos ). Assim, os três orbitais são degenerados. - Para
(orbitais ) temos estados ( ); assim os cinco orbitais são, em primeira aproximação em um átomo isolado com potencial esférico, degenerados.
Passo 5
Exemplo concreto e numérico: níveis do átomo de hidrogênio (caso famoso).
- No átomo de hidrogênio (um elétron em potencial coulombiano
) a energia depende somente do número quântico principal . A fórmula da energia é
- Isso quer dizer que todos os estados com o mesmo
têm a mesma energia. O grau de degenerescência (contando somente estados orbitais, sem considerar spin) é
- Exemplo para
: os valores de possíveis são (um subnível, ) e (três subníveis, com ). Assim : os orbitais e os três têm, no hidrogênio ideal, a mesma energia — todos degenerados.
Passo 6
Porque, em geral, alguns átomos não mostram essas degenerescências (o que as quebra).
- A degenerescência é protegida pela simetria. Se a simetria for quebrada, a degenerescência é removida (diz-se «removida» ou «levemente rompida»). Exemplos de quebras de simetria:
- Campo magnético externo: efeito Zeeman. O termo extra no Hamiltoniano depende de
(e do spin), então os estados com diferentes têm energias diferentes — a degenerescência em é partida. - Campo elétrico uniforme: efeito Stark. Mistura e desloca energias (p. ex. no hidrogênio o nível
tem os e deslocados diferentemente). - Interação elétron-elétron e acoplamento spin-órbita em átomos multieletrônicos: isto faz com que a energia deixe de depender só de
e ; subníveis que seriam degenerados podem dividir-se. - Campo cristalino em sólidos / complexos de íons de transição: exemplo abaixo.
- Campo magnético externo: efeito Zeeman. O termo extra no Hamiltoniano depende de
Passo 7
Exemplo de degenerescência rompida: separação de níveis
em campo cristalino (química/inorgânica).
- Num íon de transição em um campo octaédrico (seis ligantes ao redor), as cinco orbitais
não permanecem todas com a mesma energia: elas se dividem em dois conjuntos: -
: conjunto com três orbitais (normalmente ); -
: conjunto com duas orbitais (normalmente ).
-
- A separação energética entre esses conjuntos é indicada por um parâmetro
(o splitting). Assim, a degenerescência original de cinco se transforma em degenerescências menores (3 e 2) por causa da geometria e do potencial elétrico dos ligantes.
Passo 8
Resumo operacional: como identificar orbitais degenerados numa prova e como justificar (passo a passo prático).
- Passo A: escreva o Hamiltoniano do sistema e identifique simetrias (invariância por rotações? reflexões? presença de campos?).
- Passo B: se o Hamiltoniano for esfericamente simétrico (
), então para cada espera-se degenerescência entre os valores de . - Passo C: no caso particular de hidrogênio, diga que a energia depende só de
e calcule . - Passo D: se houver campos externos ou interações que quebrem a simetria, indique qual termo do Hamiltoniano causa a quebra e explique qualitativamente como isso separa os níveis (ex.: campo magnético -> dependência em
, campo cristalino -> divisão em subgrupos). - Na prova, sempre mencione se está contando spin ou não (contar spin dobra a degenerescência para elétrons não interagentes): com spin o fator multiplicativo é
.
Passo 9
Alguns exemplos curtos e práticos para fixar (em linguagem amigável):
- Exemplo 1 (fácil): os três orbitais
são degenerados num átomo isolado sem campo externo. Nome prático: com mesma energia. - Exemplo 2 (clássico): no hidrogênio, para
existem quatro orbitais com a mesma energia: e os três . - Exemplo 3 (quebra): aplicar um campo magnético separa os níveis
(efeito Zeeman) — então deixam de ter exatamente a mesma energia. - Exemplo 4 (química): orbitais
de um metal em um campo octaédrico dividem em conjuntos (3) e (2).
Resposta
Orbitais degenerados são estados quânticos distintos que têm exatamente a mesma energia (mesmo autovalor do Hamiltoniano).
Exemplos: (i) em potenciais esfericamente simétricos, para um dado há
orbitais degenerados (por exemplo
:
para
); (ii) no átomo de hidrogênio a energia depende só de
, logo todos os estados com mesmo
têm degenerescência
(por exemplo, para
:
e os três
têm a mesma energia); (iii) a degenerescência pode ser rompida por campos externos (efeito Zeeman, Stark) ou por campos cristalinos (ex.: os cinco
se dividem em
e
num campo octaédrico).
Exemplos: (i) em potenciais esfericamente simétricos, para um dado