y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{sen} x, y(0)=0, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'' + 4y = \sin x
com as condições de contorno
y(0)=0,\qquad y(\pi)=0.
O que se pede é encontrar todas as funções y(x) que satisfazem a equação diferencial dada e as duas condições de contorno. As informações relevantes são: a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e o termo não homogêneo \sin x; as duas condições que devem ser satisfeitas em x=0 e x=\pi.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o lado direito). A equação homogênea é
y''+4y=0.
Para resolver essa equação usamos a equação característica. Suponha uma solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^2+4=0.
As raízes são
r=\pm 2\mathrm{i}.
Quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega \mathrm{i} (aqui \omega=2), a solução geral da homogênea é combinação linear de cosseno e seno com essa frequência. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias.
Explicando de forma bem concreta: C_1 e C_2 são parâmetros que ajustam a combinação das duas funções independentes \cos(2x) e \sin(2x); qualquer combinação linear delas satisfaz y''+4y=0.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p(x) da equação completa
y''+4y=\sin x.
Método escolhido: coeficientes indeterminados — é prático aqui porque o lado direito é uma função elemental ( \sin x). Antes de escolher a forma da tentativa, verificamos se há ressonância: a solução homogênea envolve \cos(2x) e \sin(2x) (frequência 2), enquanto o forçamento é \sin x (frequência 1). As frequências são diferentes, logo não há ressonância e podemos tentar
y_p(x)=a\cos x + b\sin x,
com a,b constantes a determinar.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p. Temos
y_p'(x) = -a\sin x + b\cos x,
y_p''(x) = -a\cos x - b\sin x.
Substituindo em y''+4y:
y_p'' + 4y_p = (-a\cos x - b\sin x) + 4(a\cos x + b\sin x).
Agrupando termos em \cos x e \sin x:
y_p'' + 4y_p = ( -a + 4a )\cos x + ( -b + 4b )\sin x = 3a\cos x + 3b\sin x.
Queremos que isso seja igual a \sin x, ou seja
3a\cos x + 3b\sin x = \sin x.
Igualando coeficientes de \cos x e \sin x obtemos o sistema
3a = 0,\qquad 3b = 1.
Daí
a=0,\qquad b=\tfrac{1}{3}.
Portanto a solução particular é
y_p(x)=\tfrac{1}{3}\sin x.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\tfrac{1}{3}\sin x.
Aqui C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições de contorno. Rápida interpretação: a parte \tfrac{1}{3}\sin x é uma solução fixa que “segue” o forçamento \sin x, e C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x) é a parte livre que satisfaz a equação homogênea.

Passo 6

Aplique a condição y(0)=0. Substituindo x=0 em y(x):
y(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)+\tfrac{1}{3}\sin(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + 0 = C_1.
Como y(0)=0, segue que
C_1=0.

Passo 7

Aplique a condição y(\pi)=0. Substituindo x=\pi em y(x) (e usando que \cos(2\pi)=1, \sin(2\pi)=0, \sin\pi=0):
y(\pi)=C_1\cos(2\pi)+C_2\sin(2\pi)+\tfrac{1}{3}\sin\pi = C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + 0 = C_1.
Como y(\pi)=0, isso dá novamente
C_1=0.
Isto não fornece nenhuma equação para C_2; C_2 permanece livre.

Passo 8

Conclusão: a condição em x=0 já forçou C_1=0, e a condição em x=\pi não impõe restrição adicional porque a combinação homogênea \sin(2x) é zero tanto em x=0 quanto em x=\pi. Portanto há infinitas soluções, parametrizadas por C_2. A família de soluções que satisfaz a equação e as duas condições de contorno é
y(x)=C_2\sin(2x)+\tfrac{1}{3}\sin x,\qquad C_2\in\mathbb{R}.
Comentário final e motivador: isso significa que a solução não é única — acontece porque a equação homogênea tem uma solução não nula ( \sin(2x)) que anula-se nos dois pontos do contorno, permitindo somar múltiplos dela à solução particular sem violar as condições. Você já dominou o método: homogênea + particular (coeficientes indeterminados) + aplicar condições; esse padrão resolve muitos problemas parecidos. Vai dar certo na prova!

Resposta

y(x)=C\sin(2x)+\tfrac{1}{3}\sin x,\quad C\in\mathbb{R}

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