Passo 1
O enunciado dá a equação
com as condições de contorno
O que se pede é encontrar todas as funções
que satisfazem a equação diferencial dada e as duas condições de contorno. As informações relevantes são: a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e o termo não homogêneo
; as duas condições que devem ser satisfeitas em
e
.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, sem o lado direito). A equação homogênea é
Para resolver essa equação usamos a equação característica. Suponha uma solução do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
As raízes são
Quando as raízes são puramente imaginárias
(aqui
), a solução geral da homogênea é combinação linear de cosseno e seno com essa frequência. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Explicando de forma bem concreta:
e
são parâmetros que ajustam a combinação das duas funções independentes
e
; qualquer combinação linear delas satisfaz
.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
Método escolhido: coeficientes indeterminados — é prático aqui porque o lado direito é uma função elemental (
). Antes de escolher a forma da tentativa, verificamos se há ressonância: a solução homogênea envolve
e
(frequência
), enquanto o forçamento é
(frequência
). As frequências são diferentes, logo não há ressonância e podemos tentar
com
constantes a determinar.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
. Temos
Substituindo em
:
Agrupando termos em
e
:
Queremos que isso seja igual a
, ou seja
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema
Daí
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Aqui
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno. Rápida interpretação: a parte
é uma solução fixa que “segue” o forçamento
, e
é a parte livre que satisfaz a equação homogênea.
Passo 6
Aplique a condição
. Substituindo
em
:
Como
, segue que
Passo 7
Aplique a condição
. Substituindo
em
(e usando que
,
,
):
Como
, isso dá novamente
Isto não fornece nenhuma equação para
;
permanece livre.
Passo 8
Conclusão: a condição em
já forçou
, e a condição em
não impõe restrição adicional porque a combinação homogênea
é zero tanto em
quanto em
. Portanto há infinitas soluções, parametrizadas por
. A família de soluções que satisfaz a equação e as duas condições de contorno é
Comentário final e motivador: isso significa que a solução não é única — acontece porque a equação homogênea tem uma solução não nula (
) que anula-se nos dois pontos do contorno, permitindo somar múltiplos dela à solução particular sem violar as condições. Você já dominou o método: homogênea + particular (coeficientes indeterminados) + aplicar condições; esse padrão resolve muitos problemas parecidos. Vai dar certo na prova!