Quais são as principais relações existentes entre derivadas e integrais de funções reais? Apresentar exemplos para justificar as suas respostas.
15. Descreva a ligação existente entre as somas de Riemann, partições de um intervalo, limites de sequências e a integral de uma função f:[a, b] R.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. As principais relações entre derivadas e integrais de funções reais, com exemplos que ilustrem cada relação.
  2. A ligação entre somas de Riemann, partições de um intervalo, limites de sequências e a integral de uma função f:[a,b]toR.
    Conteúdos necessários: Teorema Fundamental do Cálculo, técnicas de integração, definição de soma de Riemann e limite de sequências numéricas.

Passo 2

Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1:
Se f for contínua em [a,b], então a função
!A(x)=integrala^xf(t),dt
é diferenciável em (a,b) e
!A'(x)=f(x)
Exemplo: seja f(t)=t^2. Então
!A(x)=integral0^xt^2,dt=x^33
e, de fato,
!A'(x)=ddxl(tfracx^33r)=x^2=f(x)

Passo 3

Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2:
Se F é uma primitiva de f em [a,b], ou seja, F'(x)=f(x), então
!integrala^bf(x),dx=F(b)-F(a)
Exemplo: para f(x)=2x, uma primitiva é F(x)=x^2. Logo
!integral0^12x,dx=F(1)-F(0)=1^2-0^2=1

Passo 4

Outras relações úteis:
  1. Integração por partes:
!integrala^bu(x),v'(x),dx=l[u(x),v(x)r]a^b-integrala^bu'(x),v(x),dx
Exemplo: integral0^1x,e^x,dx. Tome u=x, v'=e^x, então
integral0^1x,e^x,dx=l[x,e^xr]0^1-integral0^11cdot e^x,dx=(1cdot e)-(0)-l[e^xr]0^1=e- (e-1)=1
  1. Substituição (mudança de variável): se x=phi(t) é bijetiva diferenciável,
!integralx=a^x=bf(x),dx=integralt=phi^-1(a)^t=phi^-1(b)fl(phi(t)r),phi'(t),dt
Exemplo rápido: integral0^pi/2sin(x),dx. Use phi(t)=cos(t), phi'(t)=-sin(t), trocando limites dá o valor 1.

Passo 5

Somas de Riemann e partições:
  • Uma partição P de [a,b] é um conjunto a=x0<x1<cdots<xn=b.
  • A malha de P é max1<= i<= n(xi-xi-1).
  • Escolhe-se em cada subintervalo [xi-1,xi] um ponto ci e define-se a soma de Riemann
!S(f,P,ci)=sumi=1^nf(ci),(xi-xi-1)

Passo 6

Integral como limite de sequência de somas de Riemann:
Se existe um número I tal que, para toda sequência de partições (Pk) com malha to0 e quaisquer pontuações ci^(k), as somas
!Sl(f,Pk,ci^(k)r)
convergem para I, dizemos que f é integrável e
!I=integrala^bf(x),dx=limktoinftySl(f,Pk,ci^(k)r)
Exemplo clássico: f(x)=x em [0,1]. Com partições uniformes de tamanho 1/n e ci=i/n,
!Sn=sumi=1^nin,1n=1n^2sumi=1^ni=n(n+1)2n^2=n+12nxrightarrow[ntoinfty]12

Resposta

Principais relações entre derivadas e integrais:
  • Teorema Fundamental do Cálculo, partes 1 e 2.
  • Regras de integração por partes e por substituição.
Ligação entre somas de Riemann, partições, limites e integral:
  • Partições com malha decrescente geram sequências de somas de Riemann.
  • Se todas essas somas convergirem para um mesmo número, esse número é a integral de f.

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