Quais são as principais relações existentes entre derivadas e integrais de funções reais? Apresentar exemplos para justificar as suas respostas.
15. Descreva a ligação existente entre as somas de Riemann, partições de um intervalo, limites de sequências e a integral de uma função
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15. Descreva a ligação existente entre as somas de Riemann, partições de um intervalo, limites de sequências e a integral de uma função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- As principais relações entre derivadas e integrais de funções reais, com exemplos que ilustrem cada relação.
- A ligação entre somas de Riemann, partições de um intervalo, limites de sequências e a integral de uma função
.
Conteúdos necessários: Teorema Fundamental do Cálculo, técnicas de integração, definição de soma de Riemann e limite de sequências numéricas.
Passo 2
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1:
Se for contínua em
, então a função
Se
é diferenciável em
e
Exemplo: seja
. Então
e, de fato,
Passo 3
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2:
Se é uma primitiva de
em
, ou seja,
, então
Se
Exemplo: para
, uma primitiva é
. Logo
Passo 4
Outras relações úteis:
- Integração por partes:
Exemplo:
. Tome
,
, então
- Substituição (mudança de variável): se
é bijetiva diferenciável,
Exemplo rápido:
. Use
,
, trocando limites dá o valor
.
Passo 5
Somas de Riemann e partições:
- Uma partição
de é um conjunto . - A malha de
é . - Escolhe-se em cada subintervalo
um ponto e define-se a soma de Riemann
Passo 6
Integral como limite de sequência de somas de Riemann:
Se existe um número tal que, para toda sequência de partições
com malha
e quaisquer pontuações
, as somas
Se existe um número
convergem para
, dizemos que
é integrável e
Exemplo clássico:
em
. Com partições uniformes de tamanho
e
,
Resposta
Principais relações entre derivadas e integrais:
- Teorema Fundamental do Cálculo, partes 1 e 2.
- Regras de integração por partes e por substituição.
Ligação entre somas de Riemann, partições, limites e integral:
- Partições com malha decrescente geram sequências de somas de Riemann.
- Se todas essas somas convergirem para um mesmo número, esse número é a integral de
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