Seja um intervalo. Mostre que se é continua e bijetora, então sua inversa também é contínua. O que acontece se I não é um intervalo?
Passo 1
O enunciado diz que é um intervalo e que
é contínua e bijetora. A tarefa é mostrar que a inversa
é contínua. Vamos usar o fato de que toda função contínua e injetora em intervalo é estritamente monotônica e, portanto, é um mapeamento aberto.
Passo 2
Mostramos que é estritamente monotônica. Se existissem em com, por exemplo,
pela continuidade e pelo Teorema do Valor Intermediário haveria um ponto em que repetisse valor e violasse a injetividade. Logo, não pode oscilar e deve ser ou sempre crescente ou sempre decrescente em .
Passo 3
Como é contínua e estritamente monotônica, ela leva qualquer intervalo aberto em um intervalo aberto (ou se for decrescente). Isso significa que é um mapeamento aberto: imagens de conjuntos abertos de são abertas em .
Passo 4
Um bijetor aberto é um homeomorfismo entre e . Em particular, se é aberto, então também é aberto, o que mostra que
é aberto em . Portanto é contínua em todo ponto de .
Passo 5
Se
Então , mas
não é contínua em ser intervalo, a inversa pode falhar em ser contínua.
Resposta
A inversa f^-1 é contínua sempre que I é um intervalo. Se I não for intervalo, f pode não ser um mapeamento aberto e então f^-1 pode ser descontínua (como no exemplo acima).