1. Seja I subset R um intervalo. Mostre que se f: I R é continua e bijetora, então sua inversa também é contínua. O que acontece se I não é um intervalo?

Passo 1

O enunciado diz que IsubsetR é um intervalo e que
fcolon ItoR
é contínua e bijetora. A tarefa é mostrar que a inversa
f^-1colon f(I)to I
é contínua. Vamos usar o fato de que toda função contínua e injetora em intervalo é estritamente monotônica e, portanto, é um mapeamento aberto.

Passo 2

Mostramos que f é estritamente monotônica. Se existissem a<b<c em I com, por exemplo,
f(a)<f(b)e f(b)>= f(c),
pela continuidade e pelo Teorema do Valor Intermediário haveria um ponto em que f repetisse valor e violasse a injetividade. Logo, f não pode oscilar e deve ser ou sempre crescente ou sempre decrescente em I.

Passo 3

Como f é contínua e estritamente monotônica, ela leva qualquer intervalo aberto (u,v)subset I em um intervalo aberto (f(u),f(v)) (ou (f(v),f(u)) se for decrescente). Isso significa que f é um mapeamento aberto: imagens de conjuntos abertos de I são abertas em f(I).

Passo 4

Um bijetor aberto é um homeomorfismo entre I e f(I). Em particular, se Usubset I é aberto, então f(U)subset f(I) também é aberto, o que mostra que
(f^-1)^-1(U)=f(U)
é aberto em f(I). Portanto f^-1 é contínua em todo ponto de f(I).

Passo 5

Se
Então , mas
não é contínua em ser intervalo, a inversa pode falhar em ser contínua.

Resposta

A inversa f^-1 é contínua sempre que I é um intervalo. Se I não for intervalo, f pode não ser um mapeamento aberto e então f^-1 pode ser descontínua (como no exemplo acima).

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