Usando a definição de derivada, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0. Se existir, determine f^prime(x0).
f(x)=raizx+1, x0=8

Passo 1

O enunciado pede para verificar a derivabilidade da função
f(x)=raizx+1
no ponto x0=8 usando a definição de derivada. Ou seja, vamos calcular o limite
f'(8)=limxto8f(x)-f(8)x-8
e ver se ele existe.

Passo 2

Escrevendo o quociente de diferença, temos
f(x)-f(8)x-8 =raizx+1-raiz8+1x-8 =raizx+1-3x-8

Passo 3

Para avaliar o limite, racionalizamos o numerador multiplicando por
dfracraizx+1+3raizx+1+3:
raizx+1-3x-8 cdotraizx+1+3raizx+1+3 =(x+1)-9(x-8)l(raizx+1+3r) =x-8(x-8)l(raizx+1+3r)

Passo 4

Cancelando x-8 (para xneq8) obtemos
1raizx+1+3
Agora basta tomar xto8:
f'(8) =limxto81raizx+1+3 =1raiz9+3 =13+3 =16

Passo 5

Concluímos que o limite existe e vale tfrac16, logo f é derivável em x0=8 e
f'(8)=16

Resposta

f é derivável em x0=8 e f'(8)=dfrac16.

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