Se
são as raízes do polinômio
, o polinômio
, cujas raízes são
,é tal que:
e)
e)
Passo 1
O exercício pede para encontrar o polinômio monico de grau 3 cujas raízes são exatamente
,
e
, sabendo que
são raízes de
. O conteúdo principal é o deslocamento de raízes de um polinômio e vamos usar a ideia de que, se
tem raízes
, então
tem raízes
.
Passo 2
Para ver por que
tem as raízes desejadas, note que
implica
. Logo se
então
é raiz de
. Como
é monico,
também será monico de grau 3.
Passo 3
Vamos então calcular explicitamente
. Substituindo na expressão de
temos:
Passo 4
Agora expandimos termo a termo:
Somando tudo com o
final:
Passo 5
Agrupando coeficientes semelhantes em cada potência de
temos:
ou seja
Resposta
x{3}-5x{2}+10x-7