Se a, b, c são as raízes do polinômio f=x^3-2 x^2+3 x-1, o polinômio g, cujas raízes são a+1, b+1, c+1,é tal que:
e) g=x^3-5 x^2+10 x-7

Passo 1

O exercício pede para encontrar o polinômio monico de grau 3 cujas raízes são exatamente a+1, b+1 e c+1, sabendo que a,b,c são raízes de f(x)=x^3-2x^2+3x-1. O conteúdo principal é o deslocamento de raízes de um polinômio e vamos usar a ideia de que, se f(x) tem raízes ri, então g(x)=f(x-1) tem raízes ri+1.

Passo 2

Para ver por que g(x)=f(x-1) tem as raízes desejadas, note que g(x)=0 implica f(x-1)=0. Logo se x-1=a então x=a+1 é raiz de g. Como f é monico, g também será monico de grau 3.

Passo 3

Vamos então calcular explicitamente g(x)=f(x-1). Substituindo na expressão de f temos:
g(x)=(x-1)^3-2(x-1)^2+3(x-1)-1

Passo 4

Agora expandimos termo a termo:
(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1,
-2(x-1)^2=-2(x^2-2x+1)=-2x^2+4x-2,
3(x-1)=3x-3
Somando tudo com o -1 final:
g(x)=l(x^3-3x^2+3x-1r)+l(-2x^2+4x-2r)+l(3x-3r)-1

Passo 5

Agrupando coeficientes semelhantes em cada potência de x temos:
g(x)=x^3+(-3-2)x^2+(3+4+3)x+(-1-2-3-1)
ou seja
g(x)=x^3-5x^2+10x-7

Resposta

x{3}-5x{2}+10x-7

Exercícios relacionados