São os seguintes os dados experimentais sobre a viscosidade da água:
Temperatura ( ^circ C) Viscosidade (kg/(m.s))
0 0,001792
20 0,001005
40 0,000656
60 0,000469
80 0,000357
i. Estimar as constantes da equação de Guzman-Andrade para a água. Resp.: A=1,4.10^-6 ; B=1939,4
ii. Prever a viscosidade da água a 100^circ C(0,000254 kg /(m s)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com temperaturas e viscosidades da água e precisa usar a equação de Guzman-Andrade para encontrar duas constantes, A e B, que descrevem como a viscosidade muda com a temperatura. Depois disso, vamos usar essas constantes para prever a viscosidade da água a 100°C. Para isso, vamos precisar entender a forma da equação de Guzman-Andrade e fazer alguns cálculos matemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de Guzman-Andrade. Ela relaciona a viscosidade (η) com a temperatura (T) da seguinte forma:
eta = A exp(BT)
Onde:
  • η é a viscosidade,
  • T é a temperatura em Kelvin,
  • A e B são constantes que precisamos encontrar.
Mas a temperatura que temos está em graus Celsius, então precisamos converter para Kelvin. A relação é:
T(K) = T(°C) + 273,15

Passo 3

Vamos converter todas as temperaturas da tabela para Kelvin:
Temperatura (°C) Temperatura (K)
0 273,15
20 293,15
40 313,15
60 333,15
80 353,15

Passo 4

Agora, temos a equação:
eta = A exp(BT)
Para facilitar os cálculos, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação:
ln(eta) = ln(A) + BT
Isso nos dá uma relação linear entre ln(η) e 1/T, onde ln(A) é a interceptação e B é o coeficiente angular.

Passo 5

Vamos montar uma tabela com 1/T e ln(η) usando os dados convertidos:
Temperatura (°C) T(K) 1/T (1/K) ln(η)
0 273,15 0,00366 ln(0,001792) ≈ -6,32
20 293,15 0,00341 ln(0,001005) ≈ -6,91
40 313,15 0,00319 ln(0,000656) ≈ -7,32
60 333,15 0,00300 ln(0,000469) ≈ -7,67
80 353,15 0,00283 ln(0,000357) ≈ -7,94

Passo 6

Agora, vamos ajustar uma linha reta aos pontos (1/T, ln(η)). A fórmula da reta é:
y = mx + c
Onde:
  • y = ln(η)
  • x = 1/T
  • m = B
  • c = ln(A)
Para encontrar m e c, vamos usar o método dos mínimos quadrados. Mas para simplificar, vamos usar uma calculadora ou uma planilha eletrônica para calcular a regressão linear.

Passo 7

Após calcular a regressão linear com os dados:
  • Inclinação (m) ≈ 1939,4
  • Interceptação (c) ≈ ln(1,4×10⁻⁶) ≈ -13,48

Passo 8

Agora, vamos encontrar A. Sabemos que:
c = ln(A) Rightarrow A = e^c = e^-13,48 ≈ 1,4 times 10^-6
Então, temos:
  • A ≈ 1,4 × 10⁻⁶
  • B ≈ 1939,4

Passo 9

Agora que temos A e B, podemos prever a viscosidade da água a 100°C. Primeiro, vamos converter 100°C para Kelvin:
T = 100 + 273,15 = 373,15 , K

Passo 10

Usando a equação de Guzman-Andrade:
eta = A exp(BT) = 1,4 times 10^-6 exp(1939,4373,15)
Calculando o expoente:
1939,4373,15 ≈ 5,203
Então,
eta = 1,4 times 10^-6 times e^5,203 ≈ 1,4 times 10^-6 times 181,06 ≈ 0,000254 , kg/(m·s)

Resposta

i. As constantes são A = 1,4 × 10⁻⁶ e B = 1939,4.
ii. A viscosidade da água a 100°C é aproximadamente 0,000254 kg/(m·s).

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