São os seguintes os dados experimentais sobre a viscosidade da água:
Temperatura (
|
Viscosidade (kg/(m.s)) |
---|---|
0 | 0,001792 |
20 | 0,001005 |
40 | 0,000656 |
60 | 0,000469 |
80 | 0,000357 |
i. Estimar as constantes da equação de Guzman-Andrade para a água. Resp.:
ii. Prever a viscosidade da água a
ii. Prever a viscosidade da água a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com temperaturas e viscosidades da água e precisa usar a equação de Guzman-Andrade para encontrar duas constantes, A e B, que descrevem como a viscosidade muda com a temperatura. Depois disso, vamos usar essas constantes para prever a viscosidade da água a 100°C. Para isso, vamos precisar entender a forma da equação de Guzman-Andrade e fazer alguns cálculos matemáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de Guzman-Andrade. Ela relaciona a viscosidade (η) com a temperatura (T) da seguinte forma:
Onde:
- η é a viscosidade,
- T é a temperatura em Kelvin,
- A e B são constantes que precisamos encontrar.
Mas a temperatura que temos está em graus Celsius, então precisamos converter para Kelvin. A relação é:
Passo 3
Vamos converter todas as temperaturas da tabela para Kelvin:
Temperatura (°C) | Temperatura (K) |
---|---|
0 | 273,15 |
20 | 293,15 |
40 | 313,15 |
60 | 333,15 |
80 | 353,15 |
Passo 4
Agora, temos a equação:
Para facilitar os cálculos, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação:
Isso nos dá uma relação linear entre ln(η) e 1/T, onde ln(A) é a interceptação e B é o coeficiente angular.
Passo 5
Vamos montar uma tabela com 1/T e ln(η) usando os dados convertidos:
Temperatura (°C) | T(K) | 1/T (1/K) | ln(η) |
---|---|---|---|
0 | 273,15 | 0,00366 | ln(0,001792) ≈ -6,32 |
20 | 293,15 | 0,00341 | ln(0,001005) ≈ -6,91 |
40 | 313,15 | 0,00319 | ln(0,000656) ≈ -7,32 |
60 | 333,15 | 0,00300 | ln(0,000469) ≈ -7,67 |
80 | 353,15 | 0,00283 | ln(0,000357) ≈ -7,94 |
Passo 6
Agora, vamos ajustar uma linha reta aos pontos (1/T, ln(η)). A fórmula da reta é:
Onde:
- y = ln(η)
- x = 1/T
- m = B
- c = ln(A)
Para encontrar m e c, vamos usar o método dos mínimos quadrados. Mas para simplificar, vamos usar uma calculadora ou uma planilha eletrônica para calcular a regressão linear.
Passo 7
Após calcular a regressão linear com os dados:
- Inclinação (m) ≈ 1939,4
- Interceptação (c) ≈ ln(1,4×10⁻⁶) ≈ -13,48
Passo 8
Agora, vamos encontrar A. Sabemos que:
Então, temos:
- A ≈ 1,4 × 10⁻⁶
- B ≈ 1939,4
Passo 9
Agora que temos A e B, podemos prever a viscosidade da água a 100°C. Primeiro, vamos converter 100°C para Kelvin:
Passo 10
Usando a equação de Guzman-Andrade:
Calculando o expoente:
Então,
Resposta
i. As constantes são A = 1,4 × 10⁻⁶ e B = 1939,4.
ii. A viscosidade da água a 100°C é aproximadamente 0,000254 kg/(m·s).