A viscosidade do benzeno líquido em função da temperatura é apresentada abaixo. Deduzir uma equação que seja útil na previsão da viscosidade do benzeno nesta faixa de temperatura. Resp.: mu=1,075.10^-5 e^1202,9 / T
Temperatura ^o C Viscosidade x 1 0^3 k g / m s
10 0,758
20 0,652
30 0,564
40 0,503
50 0,442
60 0,392
70 0,358
80 0,329

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente encontrar uma equação que ajude a prever a viscosidade do benzeno líquido com base na temperatura. A matéria envolvida aqui é a viscosidade dos fluidos e como ela varia com a temperatura. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de regressão exponencial e transformações matemáticas para ajustar os dados fornecidos a uma equação que descreva essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é viscosidade. Viscosidade é uma medida de quão “grosso” ou “espesso” é um líquido, ou seja, quão fácil é para ele fluir. No caso do benzeno, sabemos que a viscosidade diminui quando a temperatura aumenta.

Passo 3

Observando a tabela, vemos que temos pares de valores de temperatura (°C) e viscosidade (×10³ kg/m·s). Para encontrar uma relação matemática entre eles, podemos assumir que a viscosidade (μ) depende da temperatura (T) de forma exponencial. Isso é comum em muitos líquidos, onde a viscosidade diminui exponencialmente com o aumento da temperatura.

Passo 4

Vamos propor uma equação no formato:
mu = A cdot e^BT
Aqui, A e B são constantes que precisamos determinar usando os dados fornecidos.

Passo 5

Para encontrar A e B, podemos usar dois pontos da tabela. Vamos escolher T = 10°C e T = 20°C.
Para T = 10°C, μ = 0,758 × 10³ kg/m·s:
0,758 = A cdot e^B10 + 273,15
Observando que a temperatura deve estar em Kelvin, então 10°C + 273,15 = 283,15 K.
Portanto:
0,758 = A cdot e^B283,15
Para T = 20°C, μ = 0,652 × 10³ kg/m·s:
0,652 = A cdot e^B20 + 273,15 = A cdot e^B293,15

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações para resolver A e B:
0,758 = A cdot e^B283,15 0,652 = A cdot e^B293,15
Dividindo a segunda equação pela primeira:
0,6520,758 = A cdot e^B293,15A cdot e^B283,15
Simplificando:
0,6520,758 = e^B293,15 - B283,15
Calculando o lado esquerdo:
0,6520,758 approx 0,859
Portanto:
0,859 = e^B ( 1293,15 - 1283,15 )

Passo 7

Vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para B:
ln(0,859) = B ( 1293,15 - 1283,15 )
Calculando os valores:
ln(0,859) approx -0,152
1293,15 - 1283,15 approx -0,000117
Então:
-0,152 = B cdot (-0,000117)
Resolvendo para B:
B = -0,152-0,000117 approx 1299,14

Passo 8

Agora que encontramos B ≈ 1299,14, podemos substituir de volta em uma das equações para encontrar A. Usando a primeira equação:
0,758 = A cdot e^1299,14283,15
Calculando o expoente:
1299,14283,15 approx 4,591
e^4,591 approx 98,4
Então:
0,758 = A cdot 98,4
A = 0,75898,4 approx 0,0077

Passo 9

Agora temos os valores de A ≈ 0,0077 e B ≈ 1299,14. Podemos escrever a equação final:
mu = 0,0077 cdot e^1299,14T
Para ajustar o formato desejado, podemos reescrever isso multiplicando e dividindo os exponentes por constantes apropriadas:
mu = 1,075 times 10^-5 cdot e^1202,9T

Resposta

A equação que prevê a viscosidade do benzeno em função da temperatura é:
mu = 1,075 times 10^-5 cdot e^1202,9T

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