A viscosidade do benzeno líquido em função da temperatura é apresentada abaixo. Deduzir uma equação que seja útil na previsão da viscosidade do benzeno nesta faixa de temperatura. Resp.:
Temperatura
|
Viscosidade
|
---|---|
10 | 0,758 |
20 | 0,652 |
30 | 0,564 |
40 | 0,503 |
50 | 0,442 |
60 | 0,392 |
70 | 0,358 |
80 | 0,329 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para a gente encontrar uma equação que ajude a prever a viscosidade do benzeno líquido com base na temperatura. A matéria envolvida aqui é a viscosidade dos fluidos e como ela varia com a temperatura. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de regressão exponencial e transformações matemáticas para ajustar os dados fornecidos a uma equação que descreva essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é viscosidade. Viscosidade é uma medida de quão “grosso” ou “espesso” é um líquido, ou seja, quão fácil é para ele fluir. No caso do benzeno, sabemos que a viscosidade diminui quando a temperatura aumenta.
Passo 3
Observando a tabela, vemos que temos pares de valores de temperatura (°C) e viscosidade (×10³ kg/m·s). Para encontrar uma relação matemática entre eles, podemos assumir que a viscosidade (μ) depende da temperatura (T) de forma exponencial. Isso é comum em muitos líquidos, onde a viscosidade diminui exponencialmente com o aumento da temperatura.
Passo 4
Vamos propor uma equação no formato:
Aqui, A e B são constantes que precisamos determinar usando os dados fornecidos.
Passo 5
Para encontrar A e B, podemos usar dois pontos da tabela. Vamos escolher T = 10°C e T = 20°C.
Para T = 10°C, μ = 0,758 × 10³ kg/m·s:
Observando que a temperatura deve estar em Kelvin, então 10°C + 273,15 = 283,15 K.
Portanto:
Para T = 20°C, μ = 0,652 × 10³ kg/m·s:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações para resolver A e B:
Dividindo a segunda equação pela primeira:
Simplificando:
Calculando o lado esquerdo:
Portanto:
Passo 7
Vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para B:
Calculando os valores:
Então:
Resolvendo para B:
Passo 8
Agora que encontramos B ≈ 1299,14, podemos substituir de volta em uma das equações para encontrar A. Usando a primeira equação:
Calculando o expoente:
Então:
Passo 9
Agora temos os valores de A ≈ 0,0077 e B ≈ 1299,14. Podemos escrever a equação final:
Para ajustar o formato desejado, podemos reescrever isso multiplicando e dividindo os exponentes por constantes apropriadas:
Resposta
A equação que prevê a viscosidade do benzeno em função da temperatura é: