Em um sistema mecânico, duas placas paralelas de
de área distanciadas de 14 mm contêm entre elas um óleo lubrificante cuja viscosidade a
é de 7 cP . Sabe-se que a placa superior sofre a ação de uma força para a direita e se movimenta à velocidade de
. A placa inferior desloca-se em sentido contrário, à velocidade de
. Calcule:
i. o fluxo de momento, direção e sentido. Resp.
ii. o sistema passou a funcionar a
. Nessa temperatura a viscosidade do óleo passou a ser 2,3 cP. Calcule a velocidade da placa superior sabendo-se que a placa inferior teve sua velocidade mantida e que o fluxo de momento caiu pela metade. Resp.: 10,2 m/s.
i. o fluxo de momento, direção e sentido. Resp.
ii. o sistema passou a funcionar a
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema mecânico com duas placas paralelas de área 2 m², separadas por 14 mm, e contendo um óleo lubrificante. A viscosidade do óleo muda com a temperatura. A placa de cima está se movendo para a direita a 6 m/s, enquanto a placa de baixo se move para a esquerda a 2 m/s. Primeiro, vamos calcular o fluxo de momento nessa configuração. Depois, veremos o que acontece quando a temperatura aumenta para 140°C, fazendo a viscosidade do óleo diminuir e o fluxo de momento cair pela metade, mantendo a velocidade da placa de baixo constante. Vamos precisar usar conceitos de viscosidade e fluxo de momento em fluidos entre placas paralelas.
Passo 2
Para calcular o fluxo de momento, vamos usar a fórmula da viscosidade dinâmica em um fluido entre duas placas paralelas. A viscosidade (η) relaciona o estresse de cisalhamento (τ) com o gradiente de velocidade (du/dy):
Aqui, $ \tau $ é o fluxo de momento, $ \eta $ é a viscosidade do óleo, $ du $ é a diferença de velocidade e $ dy $ é a distância entre as placas.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar os valores dados na parte i:
- Área das placas, $ A = 2 , m² $
- Distância entre as placas, $ dy = 14 , mm = 0,014 , m $
- Viscosidade do óleo a 80°C, $ \eta = 7 , cP = 7 \times 10^{-3} , N·s/m² $ (já que 1 cP =
N·s/m²) - Velocidade da placa superior, $ u_1 = 6 , m/s $ (para a direita)
- Velocidade da placa inferior, $ u_2 = -2 , m/s $ (para a esquerda, por isso negativo)
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente de velocidade $ \frac{du}{dy} $:
Passo 5
Com o gradiente de velocidade e a viscosidade, podemos encontrar o fluxo de momento $ \tau $:
Passo 6
Observando a direção das velocidades, a placa superior está se movendo para a direita e a inferior para a esquerda, o que cria um fluxo de momento na direção oposta ao movimento da placa superior. Por isso, o fluxo de momento é negativo:
Passo 7
Agora, vamos para a parte ii. A temperatura do sistema aumentou para 140°C, fazendo com que a viscosidade do óleo diminua para 2,3 cP. Além disso, o fluxo de momento caiu pela metade, passando de -4 N/m² para -2 N/m². Queremos encontrar a nova velocidade da placa superior, mantendo a velocidade da placa inferior em -2 m/s.
Passo 8
Vamos usar a mesma fórmula da viscosidade, mas agora com os novos valores:
Sabemos que $ \tau’ = \frac{\tau}{2} = -2 , N/m² $ e $ \eta’ = 2,3 , cP = 2,3 \times 10^{-3} , N·s/m² $. A velocidade da placa inferior $ u_2 $ permanece -2 m/s, e queremos encontrar a nova velocidade $ u_1’ $.
Passo 9
Reorganizando a fórmula para encontrar o gradiente de velocidade:
Passo 10
Agora, expressamos o gradiente de velocidade em termos das velocidades das placas:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 11
Resolvendo para $ u_1’ $:
No entanto, como o fluxo de momento agora é menor e a viscosidade também diminuiu, a placa superior deve se mover mais rápido na direção original. Portanto, consideramos o módulo:
Resposta
ii. A velocidade da placa superior é aproximadamente $ 10,2 , m/s $.