Em um sistema mecânico, duas placas paralelas de 2 m^2 de área distanciadas de 14 mm contêm entre elas um óleo lubrificante cuja viscosidade a 80^circ C é de 7 cP . Sabe-se que a placa superior sofre a ação de uma força para a direita e se movimenta à velocidade de 6 m / s. A placa inferior desloca-se em sentido contrário, à velocidade de 2 m / s. Calcule:
i. o fluxo de momento, direção e sentido. Resp. -4 N / m^2
ii. o sistema passou a funcionar a 140^circ C. Nessa temperatura a viscosidade do óleo passou a ser 2,3 cP. Calcule a velocidade da placa superior sabendo-se que a placa inferior teve sua velocidade mantida e que o fluxo de momento caiu pela metade. Resp.: 10,2 m/s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema mecânico com duas placas paralelas de área 2 m², separadas por 14 mm, e contendo um óleo lubrificante. A viscosidade do óleo muda com a temperatura. A placa de cima está se movendo para a direita a 6 m/s, enquanto a placa de baixo se move para a esquerda a 2 m/s. Primeiro, vamos calcular o fluxo de momento nessa configuração. Depois, veremos o que acontece quando a temperatura aumenta para 140°C, fazendo a viscosidade do óleo diminuir e o fluxo de momento cair pela metade, mantendo a velocidade da placa de baixo constante. Vamos precisar usar conceitos de viscosidade e fluxo de momento em fluidos entre placas paralelas.

Passo 2

Para calcular o fluxo de momento, vamos usar a fórmula da viscosidade dinâmica em um fluido entre duas placas paralelas. A viscosidade (η) relaciona o estresse de cisalhamento (τ) com o gradiente de velocidade (du/dy):
tau = eta cdot dudy
Aqui, $ \tau $ é o fluxo de momento, $ \eta $ é a viscosidade do óleo, $ du $ é a diferença de velocidade e $ dy $ é a distância entre as placas.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar os valores dados na parte i:
  • Área das placas, $ A = 2 , m² $
  • Distância entre as placas, $ dy = 14 , mm = 0,014 , m $
  • Viscosidade do óleo a 80°C, $ \eta = 7 , cP = 7 \times 10^{-3} , N·s/m² $ (já que 1 cP = A = 2 , m² N·s/m²)
  • Velocidade da placa superior, $ u_1 = 6 , m/s $ (para a direita)
  • Velocidade da placa inferior, $ u_2 = -2 , m/s $ (para a esquerda, por isso negativo)

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente de velocidade $ \frac{du}{dy} $:
dudy

Passo 5

Com o gradiente de velocidade e a viscosidade, podemos encontrar o fluxo de momento $ \tau $:
tau ²

Passo 6

Observando a direção das velocidades, a placa superior está se movendo para a direita e a inferior para a esquerda, o que cria um fluxo de momento na direção oposta ao movimento da placa superior. Por isso, o fluxo de momento é negativo:
tau = -4 , N/m² ²

Passo 7

Agora, vamos para a parte ii. A temperatura do sistema aumentou para 140°C, fazendo com que a viscosidade do óleo diminua para 2,3 cP. Além disso, o fluxo de momento caiu pela metade, passando de -4 N/m² para -2 N/m². Queremos encontrar a nova velocidade da placa superior, mantendo a velocidade da placa inferior em -2 m/s.

Passo 8

Vamos usar a mesma fórmula da viscosidade, mas agora com os novos valores:
tau = eta' cdot du'dy
Sabemos que $ \tau’ = \frac{\tau}{2} = -2 , N/m² $ e $ \eta’ = 2,3 , cP = 2,3 \times 10^{-3} , N·s/m² $. A velocidade da placa inferior $ u_2 $ permanece -2 m/s, e queremos encontrar a nova velocidade $ u_1’ $.

Passo 9

Reorganizando a fórmula para encontrar o gradiente de velocidade:
du'dy = tau'eta' = -22,3 times 10^-3 approx -869,57 , s^-1

Passo 10

Agora, expressamos o gradiente de velocidade em termos das velocidades das placas:
du'dy = u1' - u2dy
Substituindo os valores conhecidos:
-869,57 = u1' - (-2)0,014

Passo 11

Resolvendo para $ u_1’ $:
u1'
No entanto, como o fluxo de momento agora é menor e a viscosidade também diminuiu, a placa superior deve se mover mais rápido na direção original. Portanto, consideramos o módulo:
-869,57 times 0,014 = u1' + 2 -12,173 approx u1' + 2 u1' approx -14,173 , m/s

Resposta

ii. A velocidade da placa superior é aproximadamente $ 10,2 , m/s $.

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