8- O que são sistema, vizinhança e arredores?
Passo 1
O enunciado pede que a gente defina três conceitos básicos de Teoria de Conjuntos e Topologia/Métrica: (1) o que é um sistema (ou família) de conjuntos, (2) o que é uma vizinhança de um ponto e (3) o que se entende por arredores (ou entorno) de um ponto. Para isso, vamos trabalhar no contexto geral de um espaço
(que pode ser um espaço topológico ou métrico).
Passo 2
Sistema (ou família) de conjuntos é simplesmente uma coleção de subconjuntos de
.
Em notação, um sistema em
satisfaz
Em notação, um sistema
isto é, cada elemento de
é um subconjunto de
.
Passo 3
Vizinhança de um ponto
em um espaço topológico é qualquer conjunto
tal que exista um aberto
com
Em outras palavras,
é vizinhança de
se ele contém alguma vizinhança “aberta” de
.
Passo 4
Arredores (ou entorno) de um ponto
no espaço métrico
são as bolas abertas centradas em
.
Para cada , definimos a bola aberta
Para cada
Chamamos
de entorno ou arredor de
.
No caso particular de com a distância usual, isso é o intervalo
No caso particular de
Resposta
Sistema: uma coleção
de subconjuntos de
.
Vizinhança de : qualquer
que contenha um aberto
com
.
Arredores de : em espaço métrico
, as bolas abertas
, e em
os intervalos
.
Vizinhança de
Arredores de