8- O que são sistema, vizinhança e arredores?

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina três conceitos básicos de Teoria de Conjuntos e Topologia/Métrica: (1) o que é um sistema (ou família) de conjuntos, (2) o que é uma vizinhança de um ponto e (3) o que se entende por arredores (ou entorno) de um ponto. Para isso, vamos trabalhar no contexto geral de um espaço X (que pode ser um espaço topológico ou métrico).

Passo 2

Sistema (ou família) de conjuntos é simplesmente uma coleção de subconjuntos de X.
Em notação, um sistema \mathcal{S} em X satisfaz
\mathcal{S}\;\subseteq\;\mathcal{P}(X),
isto é, cada elemento de \mathcal{S} é um subconjunto de X.

Passo 3

Vizinhança de um ponto x\in X em um espaço topológico é qualquer conjunto V\subset X tal que exista um aberto U com
x\in U \quad\text{e}\quad U\subset V.
Em outras palavras, V é vizinhança de x se ele contém alguma vizinhança “aberta” de x.

Passo 4

Arredores (ou entorno) de um ponto x no espaço métrico (X,d) são as bolas abertas centradas em x.
Para cada \varepsilon>0, definimos a bola aberta
B(x,\varepsilon) = \{\,y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\}.
Chamamos B(x,\varepsilon) de entorno ou arredor de x.
No caso particular de X=\mathbb{R} com a distância usual, isso é o intervalo
(x-\varepsilon,\;x+\varepsilon).

Resposta

Sistema: uma coleção \mathcal{S}\subseteq\mathcal{P}(X) de subconjuntos de X.
Vizinhança de x: qualquer V\subset X que contenha um aberto U com x\in U\subset V.
Arredores de x: em espaço métrico (X,d), as bolas abertas B(x,\varepsilon)=\{y\mid d(x,y)<\varepsilon\}, e em \mathbb{R} os intervalos (x-\varepsilon,x+\varepsilon).

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