Quais são todos os ideais de ? é anel principal? Mostre que é anel principal para todo .
Passo 1
O enunciado pede:
– Listar todos os ideais de .
– Dizer se é anel principal.
– Mostrar que, em geral, é anel principal para todo .
Para isso vamos usar que em todo ideal, visto como subgrupo aditivo, é cíclico e corresponde a um divisor de .
Passo 2
Divisores de são
Em , para cada divisor temos o ideal
Assim os candidatos são
Passo 3
Verificamos que cada é de fato ideal:
– É subgrupo aditivo porque é múltiplo de .
– Se e então é múltiplo de d, logo bar xbar ain(d).
Portanto são todos os ideais de Z12.
Passo 4
Como vimos que todo ideal de Z12 é gerado por um único elemento d, concluímos que Z12 é um anel principal.
Passo 5
Agora o caso geral. Seja minN^* e considere o anel Zm=Z/mZ. Seja I um ideal de Zm e seja
picolonZtoZm
a projeção canônica. O pré‐imagem pi^-1(I) é um ideal de Z que contém mZ. Como Z é PID, existe dinN tal que
pi^-1(I)=(d)e min(d)implies dmid m
Então I=pi((d)) é gerado pela classe de d em Zm. Logo I é principal.
Resposta
Ideais de Z12:
(0),;(6),;(4),;(3),;(2),;(1)=Z12
Sim, Z12$ é anel principal.
Em geral, Zm é anel principal para todo minN^*.