Quais são todos os ideais de Z12 ? Z12 é anel principal? Mostre que Zm é anel principal para todo m in N^*.

Passo 1

O enunciado pede:
– Listar todos os ideais de Z12.
– Dizer se Z12 é anel principal.
– Mostrar que, em geral, Zm é anel principal para todo minN^*.
Para isso vamos usar que em Zn todo ideal, visto como subgrupo aditivo, é cíclico e corresponde a um divisor de n.

Passo 2

Divisores de 12 são
1,2,3,4,6,12
Em Z12, para cada divisor dmid12 temos o ideal
(d)=,0,d,2d,dotssubseteqZ12
Assim os candidatos são
(1)=Z12,; (2)=0,2,4,6,8,10,; (3)=0,3,6,9,
(4)=0,4,8,; (6)=0,6,; (12)=(0)=0

Passo 3

Verificamos que cada (d) é de fato ideal:
– É subgrupo aditivo porque é múltiplo de d.
– Se bar ain(d) e bar xinZ12 então bar xbar a=x a é múltiplo de d, logo bar xbar ain(d).
Portanto são todos os ideais de Z12.

Passo 4

Como vimos que todo ideal de Z12 é gerado por um único elemento d, concluímos que Z12 é um anel principal.

Passo 5

Agora o caso geral. Seja minN^* e considere o anel Zm=Z/mZ. Seja I um ideal de Zm e seja
picolonZtoZm
a projeção canônica. O pré‐imagem pi^-1(I) é um ideal de Z que contém mZ. Como Z é PID, existe dinN tal que
pi^-1(I)=(d)e min(d)implies dmid m
Então I=pi((d)) é gerado pela classe de d em Zm. Logo I é principal.

Resposta

Ideais de Z12:
(0),;(6),;(4),;(3),;(2),;(1)=Z12
Sim, Z12$ é anel principal.
Em geral, Zm é anel principal para todo minN^*.

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