Descreva quem são os ideais principais abaixo:
\langle 2\rangle em \mathbb{Z}_{10}

Passo 1

O enunciado pede para descrever o ideal principal lang<= 2rang<= no anel Z10. O conteúdo da matéria é teoria de ideais em anéis comutativos e, em particular, ideais principais em Zn.

Passo 2

Lembramos que
Z10=,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
com adição e multiplicação módulo 10. Em qualquer anel comutativo R, o ideal gerado por um elemento a é
lang<= arang<= = aR = ,acdot r mid rin R

Passo 3

Aplicando isso a R=Z10 e a=2, temos
lang<= 2rang<= = 2cdot Z10 = ,2cdot x bmod 10 mid xin0,1,dots,9

Passo 4

Vamos calcular 2x bmod 10 para x=0,1,dots,9:
2cdot0 equiv 0,
2cdot1 equiv 2,
2cdot2 equiv 4,
2cdot3 equiv 6,
2cdot4 equiv 8,
2cdot5 equiv 0, ···\ e os valores voltam a se repetir. Os elementos distintos obtidos são
0,2,4,6,8.

Resposta

lang<= 2rang<= = ,0,2,4,6,8subseteq Z10.

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