Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl 3 x-y9, & 1á
Calcule a correlação entre X e Y.

Passo 1

Beleza, resumo rápido do que temos e do que vamos usar.
Enunciado: X e Y são variáveis aleatórias contínuas com densidade conjunta
f(x,y)= 3x-y9,&1á
O objetivo é achar a correlação
Conteúdo: probabilidade contínua, esperança, variância, covariância e correlação. Para resolver, vamos integrar a densidade, usar definição de esperança e variância, depois calcular covariância e, por fim, a correlação.

Passo 2

Vamos primeiro achar as densidades marginais.
  1. Marginal de X:
fX(x)=integraly=1^23x-y9,dy =19l[3x,y-tfracy^22r]y=1^2 =3x-tfrac329,,1
  1. Marginal de Y:
fY(y)=integralx=1^33x-y9,dx =19l[tfrac32x^2-yxr]x=1^3 =12-2y9,,1

Passo 3

Agora calculamos as esperanças e variâncias de X.
1)
E[X] =integral1^3 x,fX(x),dx =19integral1^3 x,(3x-tfrac32),dx =209,
E[X^2] =integral1^3 x^2,fX(x),dx =19integral1^3 x^2,(3x-tfrac32),dx =479,

Passo 4

Fazemos o mesmo para Y.
1)
E[Y] =integral1^2 y,fY(y),dy =4027,
E[Y^2] =integral1^2 y^2,fY(y),dy =4118,

Passo 5

Calculamos agora E[XY] =integral dupla xy,f(x,y),dx,dy =8927, , a covariância e a correlação.
1)
Cov(X,Y)=E[XY]-E[X],E[Y] =8927-209cdot4027 =1243,

Resposta

A correlação entre X e Y é
boxedrhoX,Y ;=;raiz22783;approx;0,0268

Exercícios relacionados