Seja a variável bidimensional (X, Y) com função densidade de probabilidade
f(x, y)=l e^-(x+y), x>0, y>0 0, caso contrário á
Calcule o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua bidimensional f(x,y)= e^-(x+y),&x>0,,y>0, 0,&caso contrário com densidade
Var(X)&Cov(X,Y) Cov(X,Y)&Var(Y) á
O que a gente precisa é:
  • o vetor de médias ,
  • a matriz de variâncias e covariâncias
Para isso vamos usar conceitos de esperança (integral de ), variância () e covariância ().

Passo 2

Primeiro, vamos ver que f(x,y)=e^-x,e^-y=fX(x),fY(y) e E[X]=integral0^inftyx,e^-x,dx, E[Y]=integral0^inftyy,e^-y,dy são independentes, pois a densidade se fatoriza:
E[X]=1, E[Y]=1
Logo
Sabendo que (é a expectativa da Exp ), temos

Passo 3

Agora as variâncias. Primeiro calculamos
E[X^2]=integral0^inftyx^2,e^-x,dx
e sabemos que Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2=2-1^2=1 . Então
Exatamente igual para Var(Y)=1 (é a mesma distribuição), logo

Passo 4

Por fim, a covariância:
Como Cov(X,Y)=E[XY]-E[X],E[Y] e Cov(X,Y)=1-1=0 são independentes, . Assim

Resposta

Vetor de médias: 1 & 0 0 & 1
Matriz de variâncias e covariâncias:

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