Seja a variável bidimensional
com função densidade de probabilidade
Calcule o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua bidimensional
com densidade
O que a gente precisa é:
- o vetor de médias
, - a matriz de variâncias e covariâncias
Para isso vamos usar conceitos de esperança (integral de
), variância () e covariância ().
Passo 2
Primeiro, vamos ver que
e
são independentes, pois a densidade se fatoriza:
Logo
Sabendo que
(é a expectativa da Exp
), temos
Passo 3
Agora as variâncias. Primeiro calculamos
e sabemos que
. Então
Exatamente igual para
(é a mesma distribuição), logo
Passo 4
Por fim, a covariância:
Como
e
são independentes,
. Assim
Resposta
Vetor de médias:
Matriz de variâncias e covariâncias:
Matriz de variâncias e covariâncias: