Seja a variável bidimensional (X, Y) com função densidade de probabilidade
f(x, y)=l k x^2(4-y), xá
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, temos uma variável bidimensional f(x,y)= k,x^2,(4-y),&0 cuja densidade é
Var(X)&Cov(X,Y) Cov(X,Y)&Var(Y) á
O que a gente precisa é o vetor de médias E[X]=integral dupla x,f(x,y),dx,dy, E[Y]=integral dupla y,f(x,y),dx,dy, e a matriz de variâncias e covariâncias
Para isso vamos usar:
  • A normalização da densidade E[X^2]=integral dupla x^2,f(x,y),dx,dy,;E[Y^2]=integral dupla y^2,f(x,y),dx,dy,; E[XY]=integral dupla x,y,f(x,y),dx,dy para achar .
  • As definições
  • Depois usamos

Passo 2

Primeiro achamos 1 =integralx=0^2!integraly=x^2x k,x^2(4-y),dy,dx normalizando:
integraly=x^2x!x^2(4-y),dy =x^2l[4y-tfracy^22r]y=x^2x =x^2l((8x-2x^2)-(4x-tfracx^22)r) =4x^3-tfrac32x^4
Calcule o integral interno:
integral0^2l(4x^3-tfrac32x^4r)dx =l[x^4-tfrac1.55x^5r]0^2 =16-tfrac485 =tfrac325
Agora o externo:
Logo

Passo 3

Calculamos as esperanças E[X] =integral0^2!integralx^2xx,(k,x^2(4-y)),dy,dx =tfrac532integral0^2!(4x^4-tfrac32x^5),dx =tfrac532cdottfrac485 =tfrac32 e E[Y] =integral0^2!integralx^2xy,(k,x^2(4-y)),dy,dx =tfrac532integral0^2!l(6x^4-tfrac73x^5r)dx =tfrac532cdottfrac60845 =tfrac199 .
Para :
Para :

Passo 4

Agora E[X^2] =tfrac532integral0^2(4x^5-tfrac32x^6),dx =tfrac532cdottfrac32021 =tfrac5021 , E[Y^2] =tfrac532integral0^2l(tfrac283x^5-tfrac154x^6r)dx =tfrac532cdottfrac195263 =tfrac30563 e E[XY] =tfrac532integral0^2l(6x^5-tfrac73x^6r)dx =tfrac532cdottfrac643 =tfrac103 .
:
:
:

Passo 5

Por fim, variâncias e covariância:

Resposta

Vetor de médias:
l(E[X],E[Y]r) =l(tfrac32,tfrac199r)
Matriz de variâncias e covariâncias:
[

Var(X)&Cov(X,Y) Cov(X,Y)&Var(Y) = tfrac1184&tfrac16[6pt] tfrac16&tfrac218567 .
]

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