Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl 67(x^2+x y2), & 0 <= x <= 1,0á
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, rapaz! O enunciado manda assim: as variáveis X e Y têm densidade conjunta
f(x,y)= dfrac67l(x^2+dfracx,y2r),&0<= x<=1,;0á
A missão é achar o vetor de médias
l(E[X],,E[Y]r)
e a matriz de variâncias e covariâncias
$$
.
Var(X)&Cov(X,Y) Cov(X,Y)&Var(Y) çãóçí­E[g(X,Y)]=\iint g(x,y),f(x,y),dx,dy.$$
  • Depois Var e Cov:

Passo 2

Primeiro, as marginais:
  1. f_X(x)=∫₀² f(x,y) dy fX(x)=67integral0^2l(x^2+x,y2r)dy =67l[2x^2+x2cdot2^22r] =67(2x^2+x),;0<= x<=1
  2. f_Y(y)=∫₀¹ f(x,y) dx$$f_Y(y)=\frac{6}{7}\int_{0}{1}\Bigl(x2+\frac{x,y}{2}\Bigr)dx=\frac{6}{7}\Bigl[\frac{1}{3}+\frac{y}{4}\Bigr],;0<y<2.$$

Passo 3

Vamos a X:
  1. E[X]=∫₀¹ x·f_X(x)dx E[X]=67integral0^1(2x^3+x^2),dx =67l[24+13r] =67cdot56 =57
  2. E[X²]=∫₀¹ x²·f_X(x)dx E[X^2]=67integral0^1(2x^4+x^3),dx =67l[25+14r] =67cdot1320 =3970
  3. Var(X)=E[X²]−E[X]²

Passo 4

Agora Y:
  1. E[Y]=∫₀² y·f_Y(y)dy E[Y]=67integral0^2l(y3+y^24r)dy =67l[23+23r] =67cdot43 =87
  2. E[Y²]=∫₀² y²·f_Y(y)dy E[Y^2]=67integral0^2l(y^23+y^34r)dy =67l[89+1r] =67cdot179 =3421
  3. Var(Y)=E[Y²]−E[Y]²

Passo 5

Por fim, a covariância:
E[XY]=integral dupla x,y,f(x,y),dx,dy =67integral0^1!!integral0^2!(x^3y+tfracx^2y^22),dy,dx =1721
Então

Resposta

Vetor de médias:
boxedl(E[X],E[Y]r)=l(57,87r)
Matriz de variâncias e covariâncias:
$$
\boxed{

boxed Var(X)&Cov(X,Y)[6pt] Cov(X,Y)&Var(Y) = 23490&-1147[6pt] -1147&46147 .
}$$

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