Se
e
são variáveis aleatórias com densidade conjunta
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de
.
Passo 1
Beleza, rapaz! O enunciado manda assim: as variáveis X e Y têm densidade conjunta
A missão é achar o vetor de médias
e a matriz de variâncias e covariâncias
$$
.
- Depois Var e Cov:
Passo 2
Primeiro, as marginais:
- f_X(x)=∫₀² f(x,y) dy
- f_Y(y)=∫₀¹ f(x,y) dx$$f_Y(y)=\frac{6}{7}\int_{0}{1}\Bigl(x2+\frac{x,y}{2}\Bigr)dx=\frac{6}{7}\Bigl[\frac{1}{3}+\frac{y}{4}\Bigr],;0<y<2.$$
Passo 3
Vamos a X:
- E[X]=∫₀¹ x·f_X(x)dx
- E[X²]=∫₀¹ x²·f_X(x)dx
- Var(X)=E[X²]−E[X]²
Passo 4
Agora Y:
- E[Y]=∫₀² y·f_Y(y)dy
- E[Y²]=∫₀² y²·f_Y(y)dy
- Var(Y)=E[Y²]−E[Y]²
Passo 5
Por fim, a covariância:
Então
Resposta
Vetor de médias:
Matriz de variâncias e covariâncias:
$$
\boxed{
}$$