Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl 67(x^2+x y2), & 0 <= x <= 1,0á
Encontre as marginais de X e Y.

Passo 1

Beleza! O exercício diz que temos uma densidade conjunta
f(x,y)= 67l(x^2+x,y2r),&0<= x<=1,;0á
E nos pede para achar as marginais de e de .
Conteúdo: Probabilidade contínua, densidade marginal.
O que vamos precisar: a definição de densidade marginal (integração da densidade conjunta sobre a outra variável) e cálculos básicos de integrais de monômios.

Passo 2

Teoria:
  • A densidade marginal de fX(x)=integral-infty^+inftyf(x,y),dy é fY(y)=integral-infty^+inftyf(x,y),dx =integral0^1f(x,y),dx Como só existe para e , a integral vira
    para , e zero fora daí.
  • Analogamente, a densidade marginal de é para .

Passo 3

Calcular fX(x) &=integral0^267l(x^2+x,y2r),dy =67l(underbraceintegral0^2x^2,dyx^2cdot2 +underbraceintegral0^2x,y2,dyx2cdoty^22|0^2r) &=67l(2x^2+x2cdot42r) =67l(2x^2+xr) para 0<= x<=1 para :

Passo 4

Calcular fY(y) &=integral0^167l(x^2+x,y2r),dx =67l(underbraceintegral0^1x^2,dx13 +underbraceintegral0^1x,y2,dxy2cdotx^22|0^1r) &=67l(13+y2cdot12r) =67l(13+y4r) para 0 para :

Resposta

As densidades marginais são
fX(x)= 67l(2x^2+xr),&0<= x<=1, 0,&caso contrário, á
e
fY(y)= 67l(13+y4r),&0á

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