Seja a variável bidimensional (X, Y) com função densidade de probabilidade
f(x, y)=l k x^2(4-y), xá
Encontre as marginais de X e Y.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma v.a. bidimensional f(x,y)= k,x^2,(4-y), & x com densidade
á
O que precisamos?
  • Encontrar o valor de garantindo que a soma de probabilidade seja 1 (normalização).
  • Depois achar as densidades marginais
    e
    .
Vamos usar cálculo (integrais) e entender bem a região de integração definida por e .

Passo 2

Primeiro, encontramos 1 =integralx=0^2!integraly=x^2x k,x^2,(4-y),dy,dx pela condição
integraly=x^2x(4-y),dy =l[4y-tfracy^22r]y=x^2x =(8x-2x^2)-(4x-tfracx^22) =4x-tfrac3x^22 .
Isso vira
1 =kintegral0^2x^2l(4x-tfrac3x^22r),dx =kintegral0^2(4x^3-tfrac32x^4),dx
Dentro da integral em k=16.4=532 :
Então
Calculando:
,
.
Fica , logo

Passo 3

Agora a marginal de fX(x) =integraly=x^2x k,x^2,(4-y),dy :
fX(x) =532,x^2l(4x-tfrac3x^22r) =532,l(4x^3-tfrac32x^4r) =58x^3-1564x^4,
Já sabemos que .
Então
válido para , e zero caso contrário.

Passo 4

Para a marginal de y<2xRightarrow x>y2, e x, notamos que a região fY(y) =532(4-y)integralx=y/2^yx^2,dx =532(4-y),l[tfracx^33r]y/2^y =35768,y^3,(4-y) implica, para um fY(y) =532(4-y)integralx=y/2^2x^2,dx =532(4-y)l[tfracx^33r]y/2^2 =5768,(4-y),l(64-y^3r) fixo,
Também . Logo, para dado, varia de até .
Isso gera dois pedaços:
  1. Se , então e , logo .
  2. Se , então e , logo .
Fazendo a integral
,
temos:
Para :
Para :
Fora de , .

Resposta

f_X(x)=
58x^3-1564x^4,&0á
f_Y(y)=
35768,y^3(4-y),&0á

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