Seja a variável bidimensional
com função densidade de probabilidade
Encontre as marginais de
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma v.a. bidimensional
com densidade
O que precisamos?
- Encontrar o valor de
garantindo que a soma de probabilidade seja 1 (normalização). - Depois achar as densidades marginais
e
.
Vamos usar cálculo (integrais) e entender bem a região de integração definida por
e
.
Passo 2
Primeiro, encontramos
pela condição
.
Isso vira
Isso vira
Dentro da integral em
:
Então
Calculando:
,
.
Fica , logo
Fica
Passo 3
Agora a marginal de
:
Já sabemos que
.
Então
Então
válido para
, e zero caso contrário.
Passo 4
Para a marginal de
, notamos que a região
implica, para um
fixo,
Também
. Logo, para
dado,
varia de
até
.
Isso gera dois pedaços:
Isso gera dois pedaços:
- Se
, então e , logo . - Se
, então e , logo .
Fazendo a integral
,
temos:
temos:
Para
:
Para
:
Fora de
,
.
Resposta
f_X(x)=
f_Y(y)=