Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl 67(x^2+x y2), & 0 <= x <= 1,0á
X e Y são independentes?

Passo 1

Blz! A questão dá a densidade conjunta
f(x,y)= 67l(x^2+tfracxy2r),&0<= x<=1,;0á
e pergunta se e são independentes.
Conteúdo: variáveis aleatórias contínuas, densidade conjunta, densidades marginais e definição de independência.
O que vamos fazer:
  1. calcular a densidade marginal integrando em ;
  2. calcular integrando em ;
  3. usar a definição de independência ( para todo ) e checar se bate.

Passo 2

Calcular fX(x)=integral-infty^inftyf(x,y),dy =integral0^267l(x^2+tfracxy2r),dy :
integral0^2x^2,dy=2x^2, integral0^2xy2,dy =x2,y^22|0^2 =x2cdot2 =x
Separamos a integral:
fX(x) =67l(2x^2+xr), 0<= x<=1
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Passo 3

Calcular fY(y)=integral-infty^inftyf(x,y),dx =integral0^167l(x^2+tfracxy2r),dx :
integral0^1x^2,dx=13, integral0^1xy2,dx =y2,x^22|0^1 =y4
De novo, dividimos:
fY(y) =67l(tfrac13+tfracy4r) =67cdot4+3y12 =4+3y14, 0
Então

Passo 4

Definição de independência: f(x,y);=;fX(x);fY(y) e f(x,y) =67l(x^2+tfracxy2r), são independentes se, para todo fX(x),fY(y) =67(2x^2+x);times;4+3y14 =6,(2x^2+x),(4+3y)98 ,
Aqui temos
É fácil ver que
não é igual a para todos os do suporte.
Portanto a fatoração não funciona e elas não são independentes.

Resposta

Não, e não são independentes.

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