Se X e Y são variáveis aleatórias com densidade conjunta
f(x, y)=cl x e^-x(y+1), & x>0, y>0 0, & caso contrário á
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
f(x,y)= x e^-x(y+1),& x>0,;y>0, 0,&caso contrário á
E queremos o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de .
Conteúdo: variáveis aleatórias, densidade conjunta, marginais, expectativa, variância e covariância.
O que vamos precisar:
  1. Calcular as densidades marginais e por integração.
  2. Usar definições
    ,
    ,
    ,
    .

Passo 2

Vamos achar primeiro a marginal de fX(x)=integral0^inftyf(x,y),dy =integral0^inftyx,e^-x(y+1),dy =x e^-xintegral0^inftye^-x y,dy =x e^-x,1x =e^-x, x>0 :
E[X]=integral0^inftyx,e^-x,dx=1, E[X^2]=integral0^inftyx^2e^-x,dx=2,
Ou seja, Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2=2-1^2=1 .
Logo
portanto

Passo 3

Agora a marginal de fY(y)=integral0^inftyf(x,y),dx =integral0^inftyx,e^-x(y+1),dx :
fY(y)=1(y+1)^2, y>0
Reconhecemos
E[Y] =integral0^inftyy,1(1+y)^2,dy para E[Y]=infty .
Aqui , então
Essa densidade tem “cauda pesada” do tipo Pareto II.
Para ver se existe, calculamos
Fazendo a conta (ou reconhecendo que para cauda o integral de diverge), chegamos em
Ou seja, a média de não existe (é infinita).

Passo 4

Mesmo que fYmid X(ymid x) =f(x,y)fX(x) =x e^-x(y+1)e^-x = x e^-x y, , podemos olhar para E[Ymid X=x]=1x . Uma forma é usar a esperança condicional:
E[XY] =El[X,E[Ymid X]r] =El[Xcdot tfrac1Xr] =E[1] =1
que é Cov(X,Y) =E[XY]-E[X],E[Y] =1 - 1cdotinfty ;=;não está bem definido (infinito) em . Logo
Então
Mas a covariância é
ãá

Resposta

Vetor de médias:
(E[X],E[Y])=(1,infty)
Matriz de variâncias e covariâncias:
[
Var(X) & Cov(X,Y)[6pt] Cov(Y,X) & Var(Y) = 1 & não definido (infinito)[3pt] não definido (infinito) & não definido (infinito)

ããã.
]

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