Se
e
são variáveis aleatórias com densidade conjunta
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
E queremos o vetor de médias
e a matriz de variâncias e covariâncias de
.
Conteúdo: variáveis aleatórias, densidade conjunta, marginais, expectativa, variância e covariância.
O que vamos precisar:
Conteúdo: variáveis aleatórias, densidade conjunta, marginais, expectativa, variância e covariância.
O que vamos precisar:
- Calcular as densidades marginais
e por integração. - Usar definições
,
,
,
.
Passo 2
Vamos achar primeiro a marginal de
:
Ou seja,
.
Logo
Logo
portanto
Passo 3
Agora a marginal de
:
Reconhecemos
para
.
Aqui , então
Aqui
Essa densidade tem “cauda pesada” do tipo Pareto II.
Para ver se existe, calculamos
Para ver se
Fazendo a conta (ou reconhecendo que para cauda
o integral de
diverge), chegamos em
Ou seja, a média de
não existe (é infinita).
Passo 4
Mesmo que
, podemos olhar para
. Uma forma é usar a esperança condicional:
que é
em
. Logo
Então
Mas a covariância é
Resposta
Vetor de médias:
Matriz de variâncias e covariâncias:
[
]