Seja X uma variável aleatória binomial, com parâmetro n e p, isto é X sim Bin(n, p). Sabendo-se que E(X)=12 e Va(X)=3, determine:
P(X<2)

Passo 1

Beleza, o problema diz que Xsim Bin(n,p), é binomial com parâmetros E(X)=12 e Var(X)=3 e P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) , ou seja
e nos dão
A meta é calcular
Para isso vamos usar:
  1. Fórmulas da Binomial

Passo 2

Vamos achar np=12, np(1-p)=3 e p = 12n resolvendo o sistema
ncdot12nl(1-12nr)=3 Longrightarrow 12l(1-12nr)=3 Longrightarrow 12 - 144n = 3
Da primeira equação vem
144n=9 Longrightarrow n=16 Longrightarrow p=1216=0.75
Substituindo na variância:
Logo .

Passo 3

Agora calculamos
P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)
Usando a fórmula da binomial:
P(X=0)=binom160(0.75)^0(0.25)^16=(0.25)^16,
P(X=1)=binom161(0.75)^1(0.25)^15 =16cdot0.75cdot(0.25)^15 =12,(0.25)^15
Somando:
P(X<2) =(0.25)^16 + 12,(0.25)^15 =(0.25)^15l((0.25)+12r) =(0.25)^15cdot12.25
Como P(X<2)approx9.313times10^-10times12.25approx1.14times10^-8 ,

Resposta

boxedP(X<2)approx1.14times10^-8

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