Dado o vetor v1=(2,-1,1), determine v2 e v3 de forma que v1, v2, v3 sejam mutuamente ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede vetores v2 e v3 em R^3 tais que v1=(2,-1,1), v2 e v3 sejam mutuamente ortogonais. O conteúdo principal aqui é a definição de ortogonalidade via produto escalar e, em seguida, uso do produto vetorial para encontrar um vetor perpendicular a dois dados.

Passo 2

Para achar v2=(x,y,z) ortogonal a v1 basta impor
v1cdotv2=2x + (-1)y + 1cdot z = 0
Isso é uma equação em x,y,z, temos duas variáveis livres. Por simplicidade, escolhemos x=1 e y=0. Daí
2cdot1 + (-1)cdot0 + 1cdot z = 0 Longrightarrow 2 + z = 0 Longrightarrow z = -2
Logo, podemos tomar
v2 = (1,,0,,-2)

Passo 3

Agora precisamos de v3 perpendicular tanto a v1 quanto a v2. Uma forma direta é usar o produto vetorial:
v3 = v1 times v2 = i & j & k [6pt] 2 & -1 & 1 [4pt] 1 & 0 & -2
Desenvolvendo pelo método de Sarrus ou pelas cofactores,
v3 = il((-1)(-2)-1cdot0r) - jl(2cdot(-2)-1cdot1r) + kl(2cdot0-(-1)cdot1r) = 2,i + 5,j + 1,k
Assim,
v3 = (2,,5,,1)
]

Passo 4

Finalmente, verificamos rapidamente os produtos escalares:
v1cdotv3 = 2cdot2 + (-1)cdot5 + 1cdot1 = 4 -5 +1 = 0,
v2cdotv3 = 1cdot2 + 0cdot5 + (-2)cdot1 = 2 + 0 -2 = 0
Portanto v3 é ortogonal a ambos v1 e v2.

Resposta

v2=(1,0,-2), v3=(2,5,1).

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