Suponhamos que A é uma matriz simétrica real definida positiva. Mostre que existe uma matriz não-singular P tal que A=P^t P.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz real simétrica e definida positiva. Isso significa que para todo vetor não-nulo xinR^n temos x^T A x>0. O objetivo é mostrar que existe uma matriz não singular P tal que
A = P^T P
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Espectral para matrizes simétricas e a construção de raiz quadrada de matrizes diagonalizáveis.

Passo 2

Pelo Teorema Espectral, como A é simétrica real, existe uma matriz ortogonal Q (i.e.\ Q^T Q = Q Q^T = I) e uma diagonal Lambda cuja diagonal são os autovalores de A, tais que
A = Q Lambda Q^T
Como A é definida positiva, todos os autovalores lambdai em Lambda = diag(lambda1, dots, lambdan) são estritamente positivos.

Passo 3

Definimos a raiz quadrada da matriz diagonal Lambda como
Lambda^1/2 = diagl(raizlambda1,dots,raizlambdanr)
Essa matriz é bem definida e invertível porque cada raizlambdai>0.

Passo 4

Agora montamos a matriz
P = Lambda^1/2,Q^T
Como Lambda^1/2 e Q^T são ambas invertíveis, P é não singular.

Passo 5

Verificamos que P satisfaz A=P^TP:
P^T P = l(Lambda^1/2Q^Tr)^T l(Lambda^1/2Q^Tr) = Q,Lambda^1/2,Lambda^1/2,Q^T = Q,Lambda,Q^T = A

Resposta

Tomando P=Lambda^1/2Q^T, com A=QLambda Q^T a diagonalização espectral de A, obtemos A=P^TP e P é não singular.

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