Suponhamos que
é uma matriz simétrica real definida positiva. Mostre que existe uma matriz não-singular
tal que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz real simétrica e definida positiva. Isso significa que para todo vetor não-nulo
temos
. O objetivo é mostrar que existe uma matriz não singular
tal que
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Espectral para matrizes simétricas e a construção de raiz quadrada de matrizes diagonalizáveis.
Passo 2
Pelo Teorema Espectral, como
é simétrica real, existe uma matriz ortogonal
(i.e.\
) e uma diagonal
cuja diagonal são os autovalores de
, tais que
Como
é definida positiva, todos os autovalores
em
são estritamente positivos.
Passo 3
Definimos a raiz quadrada da matriz diagonal
como
Essa matriz é bem definida e invertível porque cada
.
Passo 4
Agora montamos a matriz
Como
e
são ambas invertíveis,
é não singular.
Passo 5
Verificamos que
satisfaz
:
Resposta
Tomando
, com
a diagonalização espectral de
, obtemos
e
é não singular.