Uma sapata de concreto esta apolada no solo, fazendo uma área de contato quadrada de 4 m . Se desconsideramos o peso próprio da sapata e ela estiver submetida a uma carga vertical no seu centro de gravidade de 100 kN e a um momento fletor paralelo a um dos lados do quadrado de 40 kN .m, a máxima e a mínima que o solo receberá na área de contato serão, respectivamente, de:
(A)
e
;
(B)
e
;
(C)
e
;
(D)
e
;
(E)
e
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
- Área de contato é quadrada com comprimento do lado igual a
. (Estou usando a interpretação coerente com as alternativas: lado , portanto a área é .) - Carga vertical aplicada no centro de gravidade:
. - Momento fletor aplicado paralelo a um dos lados do quadrado:
. - Despreza-se o peso próprio da sapata.
- Pergunta: quais são a máxima e a mínima pressão que o solo receberá na área de contato?
Passo 2
Primeira coisa que precisamos: a pressão média (ou tensão média) devido à carga vertical. A pressão média é a carga dividida pela área de contato. Vamos calcular a área e a pressão média:
A pressão média é
Substituindo:
(Observação:
.)
Passo 3
Agora vamos entender como o momento altera a distribuição de pressão. A pressão total em um ponto devido à carga concentrada mais o momento é dada pela soma da pressão média com a contribuição linear do momento:
onde:
-
é a pressão em um ponto cuja coordenada na direção de variação é (distância ao centro), -
é o momento aplicado (em ), -
é o momento de inércia da área de contato em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo ao lado que define o momento, -
é a distância do ponto ao eixo neutro (no extremo teremos a máxima contribuição do momento).
Aqui a variação é numa direção perpendicular ao lado paralelo ao momento; num quadrado de lado
o máximo de
é
.
Passo 4
Precisamos do momento de inércia da área quadrada em relação ao eixo central paralelo a um dos lados. Para uma placa retangular de base
e altura
o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro e é paralelo ao lado de comprimento
é
No nosso caso, como é quadrado
, logo
Com
:
Passo 5
A contribuição do momento na pressão máxima (no bordo, onde
) é
Substituindo os valores (
,
,
):
Passo 6
Agora somamos e subtraímos essa contribuição da pressão média para obter a máxima e a mínima pressão:
Passo 7
Verificação física: a pressão mínima ficou positiva (
), ou seja, não há levantamento (tensão de tração no solo). Portanto não precisamos truncar para zero; os valores calculados são físicos e válidos.
Passo 8
Conclusão: as pressões máxima e mínima que o solo recebe, respectivamente, são
e
. Isso corresponde à alternativa (D).