Uma sapata de concreto esta apolada no solo, fazendo uma área de contato quadrada de 4 m . Se desconsideramos o peso próprio da sapata e ela estiver submetida a uma carga vertical no seu centro de gravidade de 100 kN e a um momento fletor paralelo a um dos lados do quadrado de 40 kN .m, a máxima e a mínima que o solo receberá na área de contato serão, respectivamente, de:
(A) 5,0 \mathrm{kPa} e 0,0 \mathrm{kPa};
(B) 6,3 \mathrm{kPa} e 6,3 \mathrm{kPa};
(C) 7,5 \mathrm{kPa} e 0,0 \mathrm{kPa};
(D) 10,0 \mathrm{kPa} e 2,5 \mathrm{kPa};
(E) 12,5 \mathrm{kPa} e 5,0 \mathrm{kPa}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
  • Área de contato é quadrada com comprimento do lado igual a 4\\ \mathrm{m}. (Estou usando a interpretação coerente com as alternativas: lado a=4\\ \mathrm{m}, portanto a área é A=16\\ \mathrm{m}^2.)
  • Carga vertical aplicada no centro de gravidade: P=100\\ \mathrm{kN}.
  • Momento fletor aplicado paralelo a um dos lados do quadrado: M=40\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Despreza-se o peso próprio da sapata.
  • Pergunta: quais são a máxima e a mínima pressão que o solo receberá na área de contato?

Passo 2

Primeira coisa que precisamos: a pressão média (ou tensão média) devido à carga vertical. A pressão média é a carga dividida pela área de contato. Vamos calcular a área e a pressão média:
A = a^2 = 4^2 = 16\\ \mathrm{m}^2.
A pressão média é
q_{m}=\frac{P}{A}.
Substituindo:
q_{m}=\frac{100\\ \mathrm{kN}}{16\\ \mathrm{m}^2}=6{,}25\\ \mathrm{kN/m}^2 = 6{,}25\\ \mathrm{kPa}.
(Observação: 1\\ \mathrm{kN/m}^2 = 1\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 3

Agora vamos entender como o momento altera a distribuição de pressão. A pressão total em um ponto devido à carga concentrada mais o momento é dada pela soma da pressão média com a contribuição linear do momento:
q(x)=q_m+\frac{M\,y}{I},
onde:
  • q(x) é a pressão em um ponto cuja coordenada na direção de variação é y (distância ao centro),
  • M é o momento aplicado (em \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}),
  • I é o momento de inércia da área de contato em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo ao lado que define o momento,
  • y é a distância do ponto ao eixo neutro (no extremo y=c teremos a máxima contribuição do momento).
Aqui a variação é numa direção perpendicular ao lado paralelo ao momento; num quadrado de lado a o máximo de y é c=a/2.

Passo 4

Precisamos do momento de inércia da área quadrada em relação ao eixo central paralelo a um dos lados. Para uma placa retangular de base b e altura h o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro e é paralelo ao lado de comprimento b é
I=\frac{b\,h^3}{12}.
No nosso caso, como é quadrado b=h=a, logo
I=\frac{a^4}{12}.
Com a=4\\ \mathrm{m}:
I=\frac{4^4}{12}=\frac{256}{12}=21{,}333\overline{3}\\ \mathrm{m}^4.

Passo 5

A contribuição do momento na pressão máxima (no bordo, onde y=c=a/2) é
\Delta q = \frac{M\,c}{I}=\frac{M\,\left(\dfrac{a}{2}\right)}{I}.
Substituindo os valores ( M=40\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}, a/2=2\\ \mathrm{m}, I=21{,}333\overline{3}\\ \mathrm{m}^4):
\Delta q=\frac{40\cdot 2}{21{,}333\overline{3}}=\frac{80}{21{,}333\overline{3}}=3{,}75\\ \mathrm{kN/m}^2 = 3{,}75\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Agora somamos e subtraímos essa contribuição da pressão média para obter a máxima e a mínima pressão:
q_{\max}=q_m+\Delta q=6{,}25+3{,}75=10{,}00\\ \mathrm{kPa},
q_{\min}=q_m-\Delta q=6{,}25-3{,}75=2{,}50\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Verificação física: a pressão mínima ficou positiva ( 2{,}50\\ \mathrm{kPa}), ou seja, não há levantamento (tensão de tração no solo). Portanto não precisamos truncar para zero; os valores calculados são físicos e válidos.

Passo 8

Conclusão: as pressões máxima e mínima que o solo recebe, respectivamente, são 10{,}0\\ \mathrm{kPa} e 2{,}5\\ \mathrm{kPa}. Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

10{,}0\\ \mathrm{kPa}
2{,}5\\ \mathrm{kPa}

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