Um arqueiro atira 30 flechas. Se uma em cada sete flechas disparadas atinge o alvo, qual a chance de ele acertar:
entre três e sete tiros?
entre três e sete tiros?
Passo 1
Beleza! A gente tem um arqueiro que deu 30 flechadas e acerta, em média, 1 a cada 7 tentativas. A questão é: qual a probabilidade de ele acertar entre 3 e 7 vezes (inclusive)?
Isso é um problema de Probabilidade usando a distribuição Binomial. Vamos precisar da fórmula
Isso é um problema de Probabilidade usando a distribuição Binomial. Vamos precisar da fórmula
onde
• é o número de flechadas,
• é a chance de acertar cada uma,
• é o número de acertos.
•
•
•
Passo 2
Primeiro, definimos a variável aleatória:
Isto significa que a probabilidade de exatamente
acertos é
[
P(X=k)
\binom{30}{k}
\Bigl(\tfrac17\Bigr)^{k}
\Bigl(\tfrac67\Bigr)^{30-k}.
]
\Bigl(\tfrac17\Bigr)^{k}
\Bigl(\tfrac67\Bigr)^{30-k}.
]
Aqui
conta de quantas maneiras esses
acertos podem ocorrer nas 30 flechadas.
Passo 3
O que queremos é
[
P(3 \le X \le 7)
\sum_{k=3}^{7}
\binom{30}{k}
\Bigl(\tfrac17\Bigr)^{k}
\Bigl(\tfrac67\Bigr)^{30-k}.
]
\binom{30}{k}
\Bigl(\tfrac17\Bigr)^{k}
\Bigl(\tfrac67\Bigr)^{30-k}.
]
Na prática, a gente vai calcular cada termo
,
, …, até
e somar tudo.
Passo 4
Vamos calcular cada pedacinho (aproximando numericamente):
Somando tudo:
Resposta
A probabilidade de o arqueiro acertar entre 3 e 7 flechas, em 30 disparos, é aproximadamente 0,7691 (ou 76,91%).