Um arqueiro atira 30 flechas. Se uma em cada sete flechas disparadas atinge o alvo, qual a chance de ele acertar:
entre três e sete tiros?

Passo 1

Beleza! A gente tem um arqueiro que deu 30 flechadas e acerta, em média, 1 a cada 7 tentativas. A questão é: qual a probabilidade de ele acertar entre 3 e 7 vezes (inclusive)?
Isso é um problema de Probabilidade usando a distribuição Binomial. Vamos precisar da fórmula
P(X=k)=binomnkp^k(1-p)^,n-k
onde
é o número de flechadas,
é a chance de acertar cada uma,
é o número de acertos.

Passo 2

Primeiro, definimos a variável aleatória:
Xsim Binomial(n=30,;p=tfrac17)
Isto significa que a probabilidade de exatamente P(X=k) = binom30k l(tfrac17r)^k l(tfrac67r)^30-k acertos é
[
P(X=k)

\binom{30}{k}
\Bigl(\tfrac17\Bigr)^{k}
\Bigl(\tfrac67\Bigr)^{30-k}.
]
Aqui conta de quantas maneiras esses acertos podem ocorrer nas 30 flechadas.

Passo 3

O que queremos é
[
P(3 \le X \le 7)

\sum_{k=3}^{7}
\binom{30}{k}
\Bigl(\tfrac17\Bigr)^{k}
\Bigl(\tfrac67\Bigr)^{30-k}.
]
Na prática, a gente vai calcular cada termo P(3 <= X <= 7) = sumk=3^7 binom30k l(tfrac17r)^k l(tfrac67r)^30-k , , …, até e somar tudo.

Passo 4

Vamos calcular cada pedacinho (aproximando numericamente):
  1. 0,1847 + 0,2078 + 0,1800 + 0,1250 + 0,0716 approx 0,7691
Somando tudo:

Resposta

A probabilidade de o arqueiro acertar entre 3 e 7 flechas, em 30 disparos, é aproximadamente 0,7691 (ou 76,91%).

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