Uma bola de tênis é atirada para cima, a uma altura de
em relação ao solo, com velocidade inicial
. Aproximando o valor da aceleração da gravidade local para
, determine (a) a altura máxima atingida, (b) o tempo de subida, (c) a velocidade ao retornar ao local de lançamento, (d) o instante em que a mesma toca o solo e (e) a velocidade de impacto no solo.
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas sobre o movimento vertical de uma bola de tênis lançada para cima:
- (a) a altura máxima atingida;
- (b) o tempo de subida (tempo até atingir a altura máxima);
- (c) a velocidade ao retornar ao local de lançamento (quando passa de volta pela altura inicial);
- (d) o instante em que toca o solo;
- (e) a velocidade de impacto no solo.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- altura inicial
; - velocidade inicial (para cima)
; - aceleração da gravidade aproximada
.
Sinal convém: tomo a direção para cima como positiva.
Passo 2
Principais fórmulas (explicadas e com o que cada símbolo significa):
- Equação da posição em função do tempo para aceleração constante:
onde
é a altura no instante
,
é a altura inicial,
é a velocidade inicial (positiva para cima) e
é a aceleração da gravidade (positivo aqui, o sinal negativo na fórmula já indica que atua para baixo).
- Equação da velocidade em função do tempo:
onde
é a velocidade no instante
.
- Equação que relaciona velocidades e deslocamento sem ter tempo explicitamente:
onde
é a velocidade em um ponto cuja altura é
.
Essas fórmulas vêm direto das leis do movimento uniformemente acelerado; basta integrar a aceleração constante para obter velocidade e posição.
Passo 3
No ponto de altura máxima a velocidade instantânea é nula, isto é
. Uso a fórmula
e substituo
para achar
:
Isolando
:
Agora substituo os valores (cada número em TeX):
Interpretação: a bola parte de
, sobe mais
e atinge
.
Passo 4
O tempo de subida
é o instante em que
. Uso
e resolvo para
:
Substituindo:
Comentário prático: leva exatamente
para a velocidade diminuir de
a zero com desaceleração de
.
Passo 5
Há duas maneiras de ver isso: (i) pela simetria do movimento sem resistência do ar, a velocidade ao passar novamente pela mesma altura terá a mesma magnitude e direção oposta da inicial; (ii) uso direto da equação do movimento para
.
Primeiro pelo método direto com tempo: o tempo para voltar à altura inicial é
. Uso
:
Sinal negativo indica direção para baixo. Pela simetria o módulo é
para baixo.
Passo 6
Resolver
usando
:
Reescrevendo na forma padrão (multiplicando por
para ter coeficiente de
positivo):
Aplicando a fórmula de Bhaskara (
) com
,
,
(ou diretamente com os coeficientes da forma acima):
Cálculo do discriminante:
. Assim as duas raízes são
Portanto o instante fisicamente relevante em que a bola toca o solo é
Nota: o tempo
que encontramos antes é o instante em que a bola retorna à altura de lançamento
; ela ainda demora mais um pouco para cair até o solo.
Passo 7
Método 1 (usando
): avalio
no instante de impacto
:
O sinal negativo indica direção para baixo; o módulo é
.
Método 2 (verificação pela relação energia/velocidade):
logo
, o que confirma o resultado anterior. Tomando direção para baixo:
.
Passo 8
Resumo rápido de interpretação (motivação para prova):
- altura máxima: some o ganho de altura
à altura inicial; - tempo até o topo:
; - retorno à mesma altura leva o dobro do tempo de subida;
- para tocar o solo resolva a equação quadrática da posição;
- velocidade ao impacto pode ser obtida pelo valor de
no tempo de impacto ou pela fórmula .
Força na dica de prova: organize sempre sinais (para cima positivo aqui) e use simetria quando possível — economiza tempo.
Resposta
(a)
(b)
(c) (ou
para baixo)
(d) (aprox.)
(e) (ou
para baixo)
(b)
(c)
(d)
(e)