Um satélite artificial de massa
orbita nosso planeta Terra com uná órbita circular à velocidade angular
. Considere que a massa da terra seja representada por
.
Calcule a distância entre o satélite c o centro da Terra em termos dos dados apresentados no enunciado do problema e da constante de gravitação universal
( 10 pontos).
Calcule a distância entre o satélite c o centro da Terra em termos dos dados apresentados no enunciado do problema e da constante de gravitação universal
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um satélite com massa
que está orbitando a Terra em uma órbita circular com velocidade angular
. A massa da Terra é
e queremos descobrir qual é a distância
entre o satélite e o centro da Terra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força gravitacional e força centrípeta.
Passo 2
Primeiro, sabemos que para o satélite manter uma órbita circular estável, a força gravitacional que a Terra exerce sobre ele precisa ser igual à força centrípeta que mantém o satélite na trajetória circular. Se essas duas forças forem diferentes, o satélite ou cairia na Terra ou se afastaria para o espaço.
Passo 3
Vamos começar calculando a força gravitacional. A fórmula para a força gravitacional entre dois corpos é:
Onde:
-
é a constante de gravitação universal, -
é a massa da Terra, -
é a massa do satélite, -
é a distância entre os centros dos dois corpos.
Passo 4
Agora, a força centrípeta necessária para manter o satélite em órbita circular é dada por:
Onde:
-
é a massa do satélite, -
é a distância do satélite ao centro da Terra, -
é a velocidade angular do satélite.
Passo 5
Como as duas forças precisam ser iguais para que o satélite mantenha a órbita estável, podemos igualar as duas expressões:
Passo 6
Observamos que a massa do satélite
aparece nos dois lados da equação, então podemos cancelá-la:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
. Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
tirando a raiz cúbica de ambos os lados:
Resposta
A distância entre o satélite e o centro da Terra é