Um satélite artificial de massa m orbita nosso planeta Terra com uná órbita circular à velocidade angular omega. Considere que a massa da terra seja representada por MT.
Calcule a distância entre o satélite c o centro da Terra em termos dos dados apresentados no enunciado do problema e da constante de gravitação universal G ( 10 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um satélite com massa m que está orbitando a Terra em uma órbita circular com velocidade angular omega. A massa da Terra é MT e queremos descobrir qual é a distância r entre o satélite e o centro da Terra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força gravitacional e força centrípeta.

Passo 2

Primeiro, sabemos que para o satélite manter uma órbita circular estável, a força gravitacional que a Terra exerce sobre ele precisa ser igual à força centrípeta que mantém o satélite na trajetória circular. Se essas duas forças forem diferentes, o satélite ou cairia na Terra ou se afastaria para o espaço.

Passo 3

Vamos começar calculando a força gravitacional. A fórmula para a força gravitacional entre dois corpos é:
Fg = G MT mr^2
Onde:
  • G é a constante de gravitação universal,
  • MT é a massa da Terra,
  • m é a massa do satélite,
  • r é a distância entre os centros dos dois corpos.

Passo 4

Agora, a força centrípeta necessária para manter o satélite em órbita circular é dada por:
Fc = m r omega^2
Onde:
  • m é a massa do satélite,
  • r é a distância do satélite ao centro da Terra,
  • omega é a velocidade angular do satélite.

Passo 5

Como as duas forças precisam ser iguais para que o satélite mantenha a órbita estável, podemos igualar as duas expressões:
G MT mr^2 = m r omega^2

Passo 6

Observamos que a massa do satélite m aparece nos dois lados da equação, então podemos cancelá-la:
G MTr^2 = r omega^2

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar r. Multiplicando ambos os lados por r^2:
G MT = r^3 omega^2

Passo 8

Finalmente, resolvemos para r tirando a raiz cúbica de ambos os lados:
r = raiz[3]G MTomega^2

Resposta

A distância entre o satélite e o centro da Terra é
r = raiz[3]dfracG MTomega^2

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