Encontre passo a passo, algébrica e numericamente o campo elétrico de uma linha de carga infinita com distribuição sigma=6 nC / m^2, que passa pelos pontos P 1(x, y, z)= (5,0,0) e P 2(x, y, z)=(0,5,0), na origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita que tem uma densidade de carga sigma = 6 , nC/m^2. Essa linha de carga passa pelos pontos P1(5, 0, 0) e P2(0, 5, 0), e a gente quer descobrir qual é o campo elétrico na origem das coordenadas (0, 0, 0). Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos criados por distribuições de carga infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a orientação da linha de carga. Os pontos P1(5, 0, 0) e P2(0, 5, 0) indicam que a linha de carga está no plano xy e forma uma diagonal que passa pela origem. Para simplificar, vamos encontrar a distância mais curta entre a origem e essa linha de carga, já que o campo elétrico gerado por uma linha infinita depende dessa distância.

Passo 3

Para encontrar a distância r entre a origem e a linha de carga, podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço. A linha que passa por P1 e P2 tem a equação paramétrica:
r(t) = t(5, 0, 0) + (1 - t)(0, 5, 0) = (5t, 5(1 - t), 0)
A distância mínima r da origem a essa linha pode ser calculada usando a fórmula:
r = |a times b||b|
Onde a é o vetor que vai da origem a um dos pontos da linha, por exemplo, P1(5, 0, 0), e b é o vetor direcional da linha, que pode ser obtido subtraindo P2 - P1 = (-5, 5, 0).
Calculando o produto vetorial:
a = (5, 0, 0), b = (-5, 5, 0)
a times b = (0 cdot 0 - 0 cdot 5, 0 cdot (-5) - 5 cdot 0, 5 cdot 5 - 0 cdot (-5)) = (0, 0, 25)
O módulo desse vetor é |a times b| = 25. O módulo de b é:
|b| = raiz(-5)^2 + 5^2 + 0^2 = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2
Então, a distância r é:
r = 255raiz2 = 5raiz2 = 5raiz22 , m

Passo 4

Agora que temos a distância r, podemos usar a fórmula do campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita:
E = lambda2pi varepsilon0 r
Aqui, lambda é a densidade linear de carga. Entretanto, no enunciado foi dado sigma = 6 , nC/m^2, que é uma densidade superficial. Parece que houve uma confusão, mas assumindo que seja uma densidade linear de carga, ou seja, lambda = 6 , nC/m, vamos prosseguir.
Substituindo os valores:
lambda = 6 times 10^-9 , C/m, varepsilon0 = 8,854 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2)
E = 6 times 10^-92pi times 8,854 times 10^-12 times 5raiz22 = 6 times 10^-92pi times 8,854 times 10^-12 times 3,5355
E approx 6 times 10^-91,974 times 10^-10 approx 30,45 , N/C

Resposta

O campo elétrico na origem é aproximadamente 30,45 , N/C.

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