Encontre passo a passo, algébrica e numericamente o campo elétrico de uma linha de carga infinita com distribuição
, que passa pelos pontos
e
, na origem do sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita que tem uma densidade de carga
. Essa linha de carga passa pelos pontos
e
, e a gente quer descobrir qual é o campo elétrico na origem das coordenadas
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos criados por distribuições de carga infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a orientação da linha de carga. Os pontos
e
indicam que a linha de carga está no plano xy e forma uma diagonal que passa pela origem. Para simplificar, vamos encontrar a distância mais curta entre a origem e essa linha de carga, já que o campo elétrico gerado por uma linha infinita depende dessa distância.
Passo 3
Para encontrar a distância
entre a origem e a linha de carga, podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço. A linha que passa por
e
tem a equação paramétrica:
A distância mínima
da origem a essa linha pode ser calculada usando a fórmula:
Onde
é o vetor que vai da origem a um dos pontos da linha, por exemplo,
, e
é o vetor direcional da linha, que pode ser obtido subtraindo
.
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é
. O módulo de
é:
Então, a distância
é:
Passo 4
Agora que temos a distância
, podemos usar a fórmula do campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita:
Aqui,
é a densidade linear de carga. Entretanto, no enunciado foi dado
, que é uma densidade superficial. Parece que houve uma confusão, mas assumindo que seja uma densidade linear de carga, ou seja,
, vamos prosseguir.
Substituindo os valores:
Resposta
O campo elétrico na origem é aproximadamente
.