Um satélite artificial em órbita circular dista
do centro da Terra e o seu período é T. Um outro satélite da Terra, também em órbita circular, tem período igual a 8T. Qual é o raio de sua órbita em função de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre satélites em órbita circular. A gente vai usar conceitos de Lei de Kepler que relaciona o período orbital de um satélite com o raio de sua órbita. Precisamos descobrir qual é o raio da órbita do segundo satélite, sabendo que o período dele é 8 vezes o período do primeiro satélite, que está a uma distância $ R $ do centro da Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital ($ T
r $). Isso é representado pela fórmula:
Ou, de forma mais precisa:
Onde:
- $ T_1 $ e $ T_2 $ são os períodos dos satélites 1 e 2, respectivamente.
- $ r_1 $ e $ r_2 $ são os raios das órbitas dos satélites 1 e 2, respectivamente.
Passo 3
Sabemos que:
- O primeiro satélite tem período $ T $ e raio $ R $, ou seja, $ T_1 = T $ e $ r_1 = R $.
- O segundo satélite tem período $ 8T $, então $ T_2 = 8T $.
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 4
Simplificando a equação:
Para encontrar $ \frac{r_2}{R} $, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Passo 5
Finalmente, isolando $ r_2 $:
Resposta
O raio da órbita do segundo satélite é $ r_2 = 4R $.