Um satélite artificial em órbita circular dista R do centro da Terra e o seu período é T. Um outro satélite da Terra, também em órbita circular, tem período igual a 8T. Qual é o raio de sua órbita em função de R?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre satélites em órbita circular. A gente vai usar conceitos de Lei de Kepler que relaciona o período orbital de um satélite com o raio de sua órbita. Precisamos descobrir qual é o raio da órbita do segundo satélite, sabendo que o período dele é 8 vezes o período do primeiro satélite, que está a uma distância $ R $ do centro da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital ($ T T ééó r $). Isso é representado pela fórmula:
r
Ou, de forma mais precisa:
T^2 propto r^3
Onde:
  • $ T_1 $ e $ T_2 $ são os períodos dos satélites 1 e 2, respectivamente.
  • $ r_1 $ e $ r_2 $ são os raios das órbitas dos satélites 1 e 2, respectivamente.

Passo 3

Sabemos que:
  • O primeiro satélite tem período $ T $ e raio $ R $, ou seja, $ T_1 = T $ e $ r_1 = R $.
  • O segundo satélite tem período $ 8T $, então $ T_2 = 8T $.
Substituindo esses valores na fórmula:
T

Passo 4

Simplificando a equação:
(8)^2 = (r2R)^3 64 = (r2R)^3
Para encontrar $ \frac{r_2}{R} $, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
r2R

Passo 5

Finalmente, isolando $ r_2 $:
r2

Resposta

O raio da órbita do segundo satélite é $ r_2 = 4R $.

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