Um satélite, com uma massa de 300 kg , se move em uma órbita circular 5,00 times 10^6 m acima da superfície da Terra. Qual é o período do satélite?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um satélite de 300 kg que está orbitando a Terra numa trajetória circular a uma altura de metros acima da superfície. Nosso objetivo é encontrar o período desse satélite, ou seja, quanto tempo ele leva para completar uma volta ao redor da Terra. Para resolver isso, vamos usar a física das órbitas circulares e a Lei da Gravitação Universal de Newton.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber a distância total do satélite ao centro da Terra. Sabemos a altura acima da superfície ( r = raio da Terra + a m), mas precisamos adicionar o raio da Terra para encontrar o raio total da órbita ( ). O raio médio da Terra é aproximadamente metros.
é

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que relaciona a força gravitacional ( F = G M mr^2 ) com a massa da Terra ( ), a massa do satélite ( ), a constante gravitacional ( ) e a distância :
Onde:
  • (constante gravitacional)
  • (massa da Terra)

Passo 4

Essa força gravitacional também fornece a força centrípeta necessária para manter o satélite em órbita. A força centrípeta ( Fc = m v^2r ) é dada por:
G M mr^2 = m v^2r implies v = raizG Mr
Onde é a velocidade orbital do satélite. Como , podemos igualar as duas expressões e simplificar para encontrar :

Passo 5

Agora que temos a velocidade orbital, podemos encontrar o período ( T = 2 pi rv ) usando a relação entre velocidade, distância e tempo:
T = 2 pi rraizG Mr = 2 pi raizr^3G M
Substituindo pela expressão que encontramos:

Resposta

Calculando com os valores conhecidos:
T = 2 pi raiz(1,137 times 10^7 m)^36,67430 times 10^-11 m^3,kg^-1,s^-2 times 5,972 times 10^24 kg approx 5.10 times 10^3 segundos
Portanto, o período do satélite é aproximadamente segundos, ou cerca de 85 minutos.

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