Um pequena bola de densidade desconhecida é colocada em um recipiente contendo etanol (
) onde desenvolve uma aceleração de descida
. Determine:
a) a massa especifica da bolinha (
)
(2pt)
b) A aceleração que esta mesma bolinha desempenharia ao ser colocada na água
(1pt)
a) a massa especifica da bolinha (
b) A aceleração que esta mesma bolinha desempenharia ao ser colocada na água
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
(densidade do etanol).
A bolinha, ao ser colocada no etanol, desce com aceleração (direção para baixo).
Pede-se:
a) a massa específica (densidade) da bolinha em ;
b) a aceleração que a mesma bolinha teria ao ser colocada na água (assuma ).
A bolinha, ao ser colocada no etanol, desce com aceleração
Pede-se:
a) a massa específica (densidade) da bolinha em
b) a aceleração que a mesma bolinha teria ao ser colocada na água (assuma
Passo 2
Vamos identificar as forças atuando na bolinha e escrever a equação do movimento. As forças relevantes são:
= peso da bolinha, atuando para baixo, dado por
.
= força de empuxo (princípio de Arquimedes), atuando para cima, dada por
, onde
é a densidade do fluido (aqui, etanol) e
é o volume da bolinha deslocador de fluido.
Explicando cada símbolo:
é a massa da bolinha (em kg).
é o volume da bolinha (em m^{3}).
é a aceleração da gravidade (vou usar
).
é a densidade do fluido onde a bolinha está (no item a)
).
Pelo 2.º lei de Newton, tomando como eixo positivo para baixo (já que a aceleração dada é para baixo):
Passo 3
Agora vamos manipular a equação para isolar a densidade da bolinha. Note que a massa da bolinha pode ser escrita como
, onde
é a densidade desconhecida da bolinha (massa específica que queremos).
Partimos de
Substituindo
:
Colocando
em evidência no primeiro termo e simplificando por
(que é não nulo):
Reorganizando para isolar
:
portanto
Essa fórmula é intuitiva: quanto maior a aceleração de queda
no mesmo fluido, maior tem que ser
para vencer o empuxo.
Passo 4
Agora aplicamos os números para o etanol (
,
,
):
Calcule passo a passo:
Conclusão: a bolinha tem densidade um pouco maior que a água.
Passo 5
Agora determinamos a aceleração que essa mesma bolinha teria na água, usando a mesma equação do Passo 2, mas com
. Partindo de
com
, obtemos
Cancelando
e isolando
:
Essa fórmula mostra que, se
, então
(a bolinha desce); se
,
(a bolinha sobe).
Passo 6
Substituímos
,
e
:
Calcule:
Interpretando: a aceleração é para baixo (a bolinha desce), mas muito pequena, cerca de
.
Resposta
a)
b)