Um pequena bola de densidade desconhecida é colocada em um recipiente contendo etanol ( \rho_{e}=800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) onde desenvolve uma aceleração de descida \mathrm{a}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine:
a) a massa especifica da bolinha ( \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) \_\_\_\_ (2pt)
b) A aceleração que esta mesma bolinha desempenharia ao ser colocada na água
\_\_\_\_ (1pt)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
\rho_{e}=800\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade do etanol).
A bolinha, ao ser colocada no etanol, desce com aceleração \,a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}\, (direção para baixo).
Pede-se:
a) a massa específica (densidade) da bolinha em \mathrm{kg/m^{3}};
b) a aceleração que a mesma bolinha teria ao ser colocada na água (assuma \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á).

Passo 2

Vamos identificar as forças atuando na bolinha e escrever a equação do movimento. As forças relevantes são:
\,P = peso da bolinha, atuando para baixo, dado por \,P=mg.
\,F_{b} = força de empuxo (princípio de Arquimedes), atuando para cima, dada por \,F_{b}=\rho_{f}Vg, onde \rho_{f} é a densidade do fluido (aqui, etanol) e V é o volume da bolinha deslocador de fluido.
Explicando cada símbolo:
\,m é a massa da bolinha (em kg).
\,V é o volume da bolinha (em m^{3}).
\,g é a aceleração da gravidade (vou usar \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}).
\,\rho_{f} é a densidade do fluido onde a bolinha está (no item a) \rho_{f}=\rho_{e}=800\\ \mathrm{kg/m^{3}}).
Pelo 2.º lei de Newton, tomando como eixo positivo para baixo (já que a aceleração dada é para baixo):
\text{resultante} = m a = P - F_{b} = mg - \rho_{f}Vg.

Passo 3

Agora vamos manipular a equação para isolar a densidade da bolinha. Note que a massa da bolinha pode ser escrita como \,m=\rho_{s}V, onde \rho_{s} é a densidade desconhecida da bolinha (massa específica que queremos).
Partimos de
mg - \rho_{f}Vg = m a.
Substituindo m=\rho_{s}V:
\rho_{s}Vg - \rho_{f}Vg = \rho_{s}V a.
Colocando \rho_{s}V em evidência no primeiro termo e simplificando por V (que é não nulo):
\rho_{s}g - \rho_{f}g = \rho_{s} a.
Reorganizando para isolar \rho_{s}:
\rho_{s}g - \rho_{s}a = \rho_{f}g,
\rho_{s}(g - a) = \rho_{f}g,
portanto
\rho_{s} = \frac{\rho_{f}g}{\,g - a\,}.
Essa fórmula é intuitiva: quanto maior a aceleração de queda a no mesmo fluido, maior tem que ser \rho_{s} para vencer o empuxo.

Passo 4

Agora aplicamos os números para o etanol ( \rho_{f}=\rho_{e}=800\\ \mathrm{kg/m^{3}}, a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}):
\rho_{s} = \frac{800\cdot 9,8}{9,8 - 2}.
Calcule passo a passo:
800\cdot 9,8 = 7840,
9,8 - 2 = 7,8,
\rho_{s} = \frac{7840}{7,8}\approx 1005,13\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Conclusão: a bolinha tem densidade um pouco maior que a água.

Passo 5

Agora determinamos a aceleração que essa mesma bolinha teria na água, usando a mesma equação do Passo 2, mas com \rho_{f}=\rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á. Partindo de
mg - \rho_{\text{água}}Vg = m a',á
com m=\rho_{s}V, obtemos
\rho_{s}Vg - \rho_{\text{água}}Vg = \rho_{s}V a'.á
Cancelando V e isolando a':
\rho_{s}g - \rho_{\text{água}}g = \rho_{s} a',á
a' = g\left(1 - \frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{s}}\right).á
Essa fórmula mostra que, se \rho_{s}>\rho_{\text{água}}á, então a'>0 (a bolinha desce); se \rho_{s}<\rho_{\text{água}}á, a'<0 (a bolinha sobe).

Passo 6

Substituímos \rho_{s}\approx 1005,13\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
a' = 9,8\left(1 - \frac{1000}{1005,13}\right).
Calcule:
\frac{1000}{1005,13}\approx 0,99492,
1 - 0,99492 \approx 0,00508,
a' \approx 9,8\cdot 0,00508 \approx 0,0498\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretando: a aceleração é para baixo (a bolinha desce), mas muito pequena, cerca de 0,05\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

a) \rho_{s}\approx 1005,13\\ \mathrm{kg/m^{3}}
b) a'\approx 0,0498\\ \mathrm{m/s^{2}}

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