Um fio condutor infinito transporta uma corrente I. Ele se encontra no eixo de um cilindro condutor oco, também infinito, de raios interno e externo iguais a a e 2 a, por onde metade da corrente retorna. A outra metade retorna por uma casca cilíndrica infinita, coaxial ao conjunto, de raio 4 a. Determine:
a) B em todas as regiões;
b) \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} onde \mathbf{B} não for nulo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Determinar o campo magnético \mathbf{B} em todas as regiões radiais do sistema coaxial.
b) Determinar \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B} nos lugares onde \mathbf{B} não for nulo.
Dados e informações relevantes do enunciado:
  • Há um fio condutor infinito localizado no eixo, que transporta uma corrente total \,I (vou tomar essa corrente no sentido +z).
  • Em torno do fio há um cilindro condutor oco infinito, coaxial, com raio interno a e raio externo 2a. Por esse cilindro o retorno de corrente é de magnitude \,I/2 e, pelo enunciado, essa corrente está distribuída no material entre r=a e r=2a.
  • Há ainda uma casca cilíndrica (fina) infinita, coaxial, de raio 4a por onde retorna a outra metade da corrente, isto é, corrente -I/2 localizada essencialmente na superfície r=4a.
  • Assumo que a corrente no cilindro oco (entre a e 2a) está uniformemente distribuída em sua seção transversal (densidade de corrente axial constante nessa região).
  • O sistema é infinito e coaxial, logo esperamos campo magnético circular em torno do eixo (direção \hat{\boldsymbol{\varphi}}) e dependência apenas de r.

Passo 2

Relembrando a lei de Ampère (forma integral) que vamos usar, muito útil com simetria cilíndrica:
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total (signo incluído) atravessando a superfície limitada pelo circuito de integração. Para um caminho circular de raio r centrado no eixo, pela simetria temos \mathbf{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} e
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B_\varphi(r)\,2\pi r.
Logo, para qualquer r que não corte singularidades:
B_\varphi(r) = \frac{\mu_0 I_{\text{enc}}(r)}{2\pi r}.
Portanto a tarefa reduz-se a calcular I_{\text{enc}}(r) (com sinal) para cada faixa de r.

Passo 3

Calcular a densidade de corrente no cilindro oco (entre a e 2a). A corrente total nesse anel é -I/2 (sinal negativo porque retorna, oposta ao fio central). A área da secção transversal do anel é
A_{\text{anel}} = \pi(2a)^2 - \pi a^2 = 3\pi a^2.
Assim a densidade volumétrica axial (constante) é
J_z = \frac{-I/2}{3\pi a^2} = -\frac{I}{6\pi a^2},
onde o sinal negativo indica sentido oposto ao eixo +z.
Com isso podemos obter a corrente contida entre r=a e uma superfície de raio qualquer r com a<r<2a:
I_{\text{anel}}(a\to r) = J_z \times \text{área entre }a\text{ e }r = -\frac{I}{6\pi a^2}\cdot \pi(r^2-a^2) = -\frac{I}{6a^2}(r^2-a^2).á
Agora escrevo I_{\text{enc}}(r) por faixas radiais (soma algébrica das correntes dentro do raio r):
  • Para 0<r<a: dentro do circuito está apenas o fio central com corrente +I. (A corrente do anel e da casca em r=4a ainda não estão incluídas.)
I_{\text{enc}}(r)=I.
  • Para a<r<2a: além do fio central +I o circuito inclui parte do anel retornante, que é negativa; então
I_{\text{enc}}(r)=I + I_{\text{anel}}(a\to r) = I -\frac{I}{6a^2}(r^2-a^2).
Simplificando:
I_{\text{enc}}(r)=I\Big(\frac{7}{6}-\frac{r^2}{6a^2}\Big).
Observação de verificação: em r=a isso dá I, e em r=2a I/2, como esperado (pois o anel total é -I/2).
  • Para 2a<r<4a: o anel entre a e 2a está totalmente dentro, contribuindo -I/2; a casca em r=4a ainda não está incluída. Logo
I_{\text{enc}}(r) = I - \frac{I}{2} = \frac{I}{2}.
  • Para r>4a: dentro do raio está o fio +I, o anel -I/2 e a casca -I/2, soma zero:
I_{\text{enc}}(r) = 0.

Passo 4

Calcular \mathbf{B} em cada região usando B_\varphi(r)=\dfrac{\mu_0 I_{\text{enc}}(r)}{2\pi r}.
Região 1: 0<r<a. Aqui I_{\text{enc}}=I, então
B_\varphi(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
A direção é \hat{\boldsymbol{\varphi}} (sentido determinado pela regra da mão direita para corrente +z). Assim
\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},\qquad 0<r<a.

Passo 5

Região 2: a<r<2a. Aqui usamos a expressão encontrada para I_{\text{enc}}:
I_{\text{enc}}(r)=I\Big(\frac{7}{6}-\frac{r^2}{6a^2}\Big).
Logo
B_\varphi(r)=\frac{\mu_0}{2\pi r}\,I\Big(\frac{7}{6}-\frac{r^2}{6a^2}\Big) = \frac{\mu_0 I}{12\pi r}\Big(7-\frac{r^2}{a^2}\Big).
Portanto
\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_0 I}{12\pi r}\Big(7-\frac{r^2}{a^2}\Big)\hat{\boldsymbol{\varphi}},\qquad a<r<2a.

Passo 6

Região 3: 2a<r<4a. Aqui I_{\text{enc}}=I/2, daí
B_\varphi(r)=\frac{\mu_0 (I/2)}{2\pi r}=\frac{\mu_0 I}{4\pi r},
ou
\mathbf{B}(r)=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},\qquad 2a<r<4a.

Passo 7

Região 4: r>4a. Aqui I_{\text{enc}}=0, logo por Ampère
\mathbf{B}(r)=\mathbf{0},\qquad r>4a.
(As correntes formam circuito fechado total nulo visto a distâncias externas, por isso o campo externo zera.)

Passo 8

Agora calculamos \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B} nas regiões onde \mathbf{B} não é nulo. Para um campo do tipo \mathbf{B}=B_\varphi(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} (independente de \varphi e z), o componente axial do rotacional é
(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B})_z=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r B_\varphi(r)\big),
e as outras componentes radiais e azimutais são zero. Pelo teorema de Ampère local (equações de Maxwell para regime estacionário),
\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J}.
Avalio agora faixa a faixa (apenas onde \mathbf{B}\neq0):
  • Para 0<r<a: temos B_\varphi=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}. Então
rB_\varphi=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dr}(rB_\varphi)=0,
portanto
\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B}=\mathbf{0},\qquad 0<r<a.
Observação: isto é consistente com toda a corrente I concentrada em r=0 (fio idealmente fino): a densidade de corrente volumétrica é nula para r>0 e existe uma contribuição singular (delta de Dirac) em r=0 que não está dentro da região 0<r<a.
  • Para a<r<2a: usei
rB_\varphi(r)=\frac{\mu_0 I}{12\pi}\Big(7-\frac{r^2}{a^2}\Big).
Derivando,
\frac{d}{dr}\big(rB_\varphi\big)=\frac{\mu_0 I}{12\pi}\cdot\Big(-\frac{2r}{a^2}\Big) = -\frac{\mu_0 I}{6\pi}\frac{r}{a^2}.
Então
(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B})_z=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(rB_\varphi) = -\frac{\mu_0 I}{6\pi a^2}.
Logo
\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B}=-\frac{\mu_0 I}{6\pi a^2}\,\hat{\mathbf{z}},\qquad a<r<2a.
Isto coincide com \mu_0\mathbf{J} porque a densidade de corrente axial no anel é J_z=-\dfrac{I}{6\pi a^2}.
  • Para 2a<r<4a: temos B_\varphi=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi r}, logo
rB_\varphi=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dr}(rB_\varphi)=0,
portanto
\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B}=\mathbf{0},\qquad 2a<r<4a.
(De novo, a casca em r=4a é uma corrente superficial: ela gera contribuições delta de \mathbf{J} e de \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B} localizadas em r=4a, que não aparecem nas regiões abertas onde r\neq4a.)

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{B}(r)=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & 0<r<a,\\[8pt] \displaystyle \dfrac{\mu_0 I}{12\pi r}\Big(7-\dfrac{r^2}{a^2}\Big)\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<2a,\\[8pt] \displaystyle \dfrac{\mu_0 I}{4\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & 2a<r<4a,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r>4a. \end{cases}
b) \displaystyle \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B}=\begin{cases} \displaystyle \mathbf{0}, & 0<r<a,\\[6pt] \displaystyle -\dfrac{\mu_0 I}{6\pi a^2}\,\hat{\mathbf{z}}, & a<r<2a,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & 2a<r<4a. \end{cases}]

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