Um fio condutor infinito transporta uma corrente I. Ele se encontra no eixo de um cilindro condutor oco, também infinito, de raios interno e externo iguais a a e 2 a, por onde metade da corrente retorna. A outra metade retorna por uma casca cilíndrica infinita, coaxial ao conjunto, de raio 4 a. Determine:
a) B em todas as regiões;
b) \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} onde \mathbf{B} não for nulo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Determinar o campo magnético \mathbf{B} em todas as regiões radiais do sistema coaxial.
b) Determinar \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B} nos lugares onde \mathbf{B} não for nulo.
Dados e informações relevantes do enunciado:
Há um fio condutor infinito localizado no eixo, que transporta uma corrente total \,I (vou tomar essa corrente no sentido +z).
Em torno do fio há um cilindro condutor oco infinito, coaxial, com raio interno a e raio externo 2a. Por esse cilindro o retorno de corrente é de magnitude \,I/2 e, pelo enunciado, essa corrente está distribuída no material entre r=a e r=2a.
Há ainda uma casca cilíndrica (fina) infinita, coaxial, de raio 4a por onde retorna a outra metade da corrente, isto é, corrente -I/2 localizada essencialmente na superfície r=4a.
Assumo que a corrente no cilindro oco (entre a e 2a) está uniformemente distribuída em sua seção transversal (densidade de corrente axial constante nessa região).
O sistema é infinito e coaxial, logo esperamos campo magnético circular em torno do eixo (direção \hat{\boldsymbol{\varphi}}) e dependência apenas de r.
Passo 2
Relembrando a lei de Ampère (forma integral) que vamos usar, muito útil com simetria cilíndrica:
onde I_{\text{enc}} é a corrente total (signo incluído) atravessando a superfície limitada pelo circuito de integração. Para um caminho circular de raio r centrado no eixo, pela simetria temos \mathbf{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} e
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B_\varphi(r)\,2\pi r.
Logo, para qualquer r que não corte singularidades:
Portanto a tarefa reduz-se a calcular I_{\text{enc}}(r) (com sinal) para cada faixa de r.
Passo 3
Calcular a densidade de corrente no cilindro oco (entre a e 2a). A corrente total nesse anel é -I/2 (sinal negativo porque retorna, oposta ao fio central). A área da secção transversal do anel é
Região 4: r>4a. Aqui I_{\text{enc}}=0, logo por Ampère
\mathbf{B}(r)=\mathbf{0},\qquad r>4a.
(As correntes formam circuito fechado total nulo visto a distâncias externas, por isso o campo externo zera.)
Passo 8
Agora calculamos \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B} nas regiões onde \mathbf{B} não é nulo. Para um campo do tipo \mathbf{B}=B_\varphi(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} (independente de \varphi e z), o componente axial do rotacional é
Observação: isto é consistente com toda a corrente I concentrada em r=0 (fio idealmente fino): a densidade de corrente volumétrica é nula para r>0 e existe uma contribuição singular (delta de Dirac) em r=0 que não está dentro da região 0<r<a.
(De novo, a casca em r=4a é uma corrente superficial: ela gera contribuições delta de \mathbf{J} e de \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{B} localizadas em r=4a, que não aparecem nas regiões abertas onde r\neq4a.)