Um satélite de massa m está em órbita circular de raio r ao redor do planeta Terra. Para m=100 kg, qual o módulo do momento angular se o raio da órbita é duas vezes o raio da Terra RT?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um satélite com massa $ m = 100 , kg $ que está em órbita circular ao redor da Terra, com raio $ r $ igual ao dobro do raio da Terra $ R_T $. Queremos descobrir o módulo do momento angular desse satélite. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de momento angular, órbita circular e das leis da gravitação universal.

Passo 2

Vamos lembrar que o momento angular $ L $ de um objeto em movimento circular pode ser calculado pela fórmula:
L
onde:
  • $ m $ é a massa do satélite,
  • $ v $ é a velocidade tangencial,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 3

Para encontrar o momento angular, precisamos determinar a velocidade $ v $ do satélite. Sabemos que, para uma órbita circular, a força centrípeta que mantém o satélite na trajetória é fornecida pela força gravitacional. Portanto, podemos igualar a força centrípeta à força gravitacional:
v
onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $),
  • $ M $ é a massa da Terra ($ 5,972 \times 10^{24} , kg $).

Passo 4

Simplificando a equação, podemos cancelar a massa $ m $ e multiplicar ambos os lados por $ r $:
m
Assim, a velocidade $ v $ é:
r

Passo 5

Agora, substituímos a expressão da velocidade na fórmula do momento angular:
L = m cdot raizG cdot Mr cdot r = m cdot raizG M r

Passo 6

Como sabemos que $ r = 2 R_T $, podemos substituir:
r = 2 RT

Passo 7

Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
  • $ m = 100 , kg $,
  • $ G = 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $,
  • $ M = 5,972 \times 10^{24} , kg $,
  • $ R_T = 6,371 \times 10^{6} , m $.
Então,
m = 100 , kg

Passo 8

Calculando o valor dentro da raiz:
6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 = 3,986 times 10^14
Multiplicando por $ 2 \times 6,371 \times 10^{6} $:
2 times 6,371 times 10^6
Então,
3,986 times 10^14 times 1,2742 times 10^7 approx 5,076 times 10^21

Resposta

O módulo do momento angular do satélite é aproximadamente $ 7,13 \times 10^{12} , kg\cdotm^2/s $.

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