Um satélite de massa
está em órbita circular de raio r ao redor do planeta Terra. Para
, qual o módulo do momento angular se o raio da órbita é duas vezes o raio da Terra
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um satélite com massa $ m = 100 , kg $ que está em órbita circular ao redor da Terra, com raio $ r $ igual ao dobro do raio da Terra $ R_T $. Queremos descobrir o módulo do momento angular desse satélite. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de momento angular, órbita circular e das leis da gravitação universal.
Passo 2
Vamos lembrar que o momento angular $ L $ de um objeto em movimento circular pode ser calculado pela fórmula:
onde:
- $ m $ é a massa do satélite,
- $ v $ é a velocidade tangencial,
- $ r $ é o raio da órbita.
Passo 3
Para encontrar o momento angular, precisamos determinar a velocidade $ v $ do satélite. Sabemos que, para uma órbita circular, a força centrípeta que mantém o satélite na trajetória é fornecida pela força gravitacional. Portanto, podemos igualar a força centrípeta à força gravitacional:
onde:
- $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $),
- $ M $ é a massa da Terra ($ 5,972 \times 10^{24} , kg $).
Passo 4
Simplificando a equação, podemos cancelar a massa $ m $ e multiplicar ambos os lados por $ r $:
Assim, a velocidade $ v $ é:
Passo 5
Agora, substituímos a expressão da velocidade na fórmula do momento angular:
Passo 6
Como sabemos que $ r = 2 R_T $, podemos substituir:
Passo 7
Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
- $ m = 100 , kg $,
- $ G = 6,674 \times 10^{-11} , N\cdotm2/\text{kg}2 $,
- $ M = 5,972 \times 10^{24} , kg $,
- $ R_T = 6,371 \times 10^{6} , m $.
Então,
Passo 8
Calculando o valor dentro da raiz:
Multiplicando por $ 2 \times 6,371 \times 10^{6} $:
Então,
Resposta
O módulo do momento angular do satélite é aproximadamente $ 7,13 \times 10^{12} , kg\cdotm^2/s $.