Quando a velocidade de um trem é de 15 m / s na direção leste, as gotas de chuva que caem verticalmente em relação à superfície terrestre deixam vestígios com inclinação de 30,0^circ em relação à vertical, nas janelas do trem.
(a) Faça um esboço do vetor velocidade da gota em relação ao trem.
(b) Qual o componente horizontal da velocidade de uma gota em relação à superfície terrestre? Em relação ao trem?
(b) Qual o módulo da velocidade da gota em relação à superfície terrestre? Em relação ao trem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um trem anda a 15 m/s para o leste e a chuva cai “verticalmente” (ou seja, sem velocidade horizontal) no referencial da Terra. Mas, dentro do trem, as gotas deixam um traço inclinado em 30° em relação à vertical. A matéria é cinemática vetorial (velocidade relativa) e trigonometria básica (decompor vetores e usar tangente). Para resolver vamos precisar:
  • Entender que a velocidade da gota no trem (v_{G/T}) é a diferença entre a velocidade da gota na Terra (v_{G/Terra}) e a do trem (v_{T/Terra}).
  • Desenhar esse vetor resultante e decompor em horizontal e vertical.
  • Usar para relacionar as componentes.
  • Calcular módulos com Pitágoras.

Passo 2

Esboço do vetor velocidade da gota relativo ao trem:
Imagine o eixo vertical apontando para baixo (queda da chuva) e o eixo horizontal para a direita (leste).
  • A gota na Terra tem só componente vertical para baixo.
  • O trem “puxa” o referencial pra direita, então, no trem, a gota parece vir também da esquerda.
    Logo, o vetor é a soma de um componente horizontal para a esquerda (–15 m/s) e um vertical para baixo (que vamos chamar de ). Esse vetor faz 30° com a vertical.

Passo 3

Componente horizontal:
  • Na Terra, a chuva não tem velocidade horizontal, então vx,;G/Terra=0
  • No trem, pela regra de velocidades relativas: vx,;G/T = vx,;G/Terra - vx,;T/Terra = 0 - 15 = -15 m/s
(O sinal “–” indica que ela aparenta vir da esquerda, ou seja, 15 m/s para oeste.)

Passo 4

Componente vertical (no trem) usando trig:
O vetor tan30^circ = l|componente horizontalr|l|componente verticalr| = 15vy faz 30° com a vertical, logo
1raiz3 = 15vy ;Longrightarrow; vy = 15raiz3 m/s
Como , temos
Esse é só o módulo da componente vertical (para baixo).

Passo 5

Agora os módulos das velocidades:
  1. Relativo à Terra, a gota só tem a componente vertical (não tem horizontal), então |vec vG/Terra| = vy = 15raiz3 m/s approx 25,98 m/s
  2. Relativo ao trem, o módulo é Pitágoras combinando as duas componentes: |vec vG/T| = raiz(-15)^2 + (15raiz3)^2 = raiz225 + 675 = raiz900 = 30 m/s

Resposta

a) O vetor faz 30° com a vertical, apontando para baixo e levemente para a esquerda (15 m/s).
b) Componente horizontal da gota:
  • Relativo à Terra: .
  • Relativo ao trem: (15 m/s para oeste).
    c) Módulo da velocidade da gota:
  • Relativo à Terra:
  • Relativo ao trem:

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