Um satélite de massa m está em órbita circular de raio r ao redor do planeta Terra. Qual o momento angular, calculado em referência ao centro da órbita, deste satélite? (use massa da Terra igual a M ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um satélite de massa $ m $ que está girando em uma órbita circular de raio $ r $ ao redor da Terra, que tem massa $ M $. A gente precisa descobrir o momento angular desse satélite em relação ao centro da órbita. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como força gravitacional, força centrípeta e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento angular. O momento angular ($ L $) é uma medida de quanta rotação um objeto tem em torno de um ponto, nesse caso, o centro da Terra. Para um objeto em movimento circular, o momento angular é calculado pela fórmula:
L
onde:
  • $ m $ é a massa do objeto,
  • $ v $ é a velocidade tangencial,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade ($ v $) do satélite. Sabemos que, para manter uma órbita circular, a força centrípeta que mantém o satélite na trajetória é fornecida pela força gravitacional entre a Terra e o satélite.
A força gravitacional ($ F_g $) é dada por:
v
onde $ G $ é a constante gravitacional.
A força centrípeta ($ F_c $) necessária para manter o satélite em órbita é:
Fg

Passo 4

Como o satélite está em órbita estável, a força gravitacional é igual à força centrípeta:
G cdot M cdot mr^2 = m cdot v^2r
Podemos simplificar essa equação cancelando $ m $ e multiplicando ambos os lados por $ r $:
m
Agora, resolvendo para $ v $:
r

Passo 5

Com a velocidade $ v $ encontrada, voltamos à fórmula do momento angular:
v
Substituindo $ v $ pela expressão que achamos:
L = m cdot v cdot r

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
L = m cdot r cdot raizG cdot Mr = m cdot raizG cdot M cdot r

Resposta

O momento angular do satélite em referência ao centro da órbita é:
L = m cdot raizG cdot M cdot r

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