Um satélite de massa
está em órbita circular de raio r ao redor do planeta Terra. Qual o momento angular, calculado em referência ao centro da órbita, deste satélite? (use massa da Terra igual a M ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um satélite de massa $ m $ que está girando em uma órbita circular de raio $ r $ ao redor da Terra, que tem massa $ M $. A gente precisa descobrir o momento angular desse satélite em relação ao centro da órbita. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física como força gravitacional, força centrípeta e momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento angular. O momento angular ($ L $) é uma medida de quanta rotação um objeto tem em torno de um ponto, nesse caso, o centro da Terra. Para um objeto em movimento circular, o momento angular é calculado pela fórmula:
onde:
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ v $ é a velocidade tangencial,
- $ r $ é o raio da órbita.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a velocidade ($ v $) do satélite. Sabemos que, para manter uma órbita circular, a força centrípeta que mantém o satélite na trajetória é fornecida pela força gravitacional entre a Terra e o satélite.
A força gravitacional ($ F_g $) é dada por:
onde $ G $ é a constante gravitacional.
A força centrípeta ($ F_c $) necessária para manter o satélite em órbita é:
Passo 4
Como o satélite está em órbita estável, a força gravitacional é igual à força centrípeta:
Podemos simplificar essa equação cancelando $ m $ e multiplicando ambos os lados por $ r $:
Agora, resolvendo para $ v $:
Passo 5
Com a velocidade $ v $ encontrada, voltamos à fórmula do momento angular:
Substituindo $ v $ pela expressão que achamos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
O momento angular do satélite em referência ao centro da órbita é: