A água se move com uma velocidade de 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um cano com um diâmetro de 6,0 cm. A água desce gradualmente de 6 m enquanto a seção reta diminui para um diâmetro de 3,0 \mathrm{~cm}. Determine: (a) o volume de água que escoa para a atmosfera num tempo de 10 hora. (b) a velocidade da água na saída e (c) a pressão monométrica antes da descida.
G=6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{Kg}^{2} ; \text { págua }=10^{3} \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} ; p_{\mathrm{atm}}=1,01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} ; g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á

Passo 1

O enunciado nos dá um escoamento estacionário de água ( \rho=10^3,kg/ m^{3}) em um tubo que, na seção 1, tem diâmetro d_1=6{,}0,cm e velocidade v_1=8{,}0,m/s, e na seção 2 (saída), diâmetro d_2=3{,}0,cm e desnível vertical h=6,m até a atmosfera ( p_2=p_{\rm atm}=1,01\times10^5,Pa). Vamos usar:
– Equação da continuidade Q=A_1v_1=A_2v_2.
– Equação de Bernoulli entre seção 1 e saída (seção 2).

Passo 2

Calculamos a área da seção 1 e a vazão volumétrica Q.
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} =\frac{\pi (0{,}06)^2}{4} =\pi\cdot0{,}0009 \approx2{,}827\times10^{-3}\text{ m}^2.
Q = A_1\,v_1 \approx2{,}827\times10^{-3}\times8{,}0 \approx2{,}262\times10^{-2}\text{ m}^3/\text{s}.

Passo 3

O volume que escoa em t=10,h ( =10\times3600,s) é
V = Q\,t =2{,}262\times10^{-2}\times(10\times3600) \approx8,14\times10^2\text{ m}^3.

Passo 4

Pela continuidade, achamos v_2. Primeiro A_2:
A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} =\frac{\pi (0{,}03)^2}{4} =\pi\cdot0{,}000225 \approx7,069\times10^{-4}\text{ m}^2.
v_2 = \frac{Q}{A_2} \approx\frac{2{,}262\times10^{-2}}{7,069\times10^{-4}} \approx32{,}0\text{ m/s}.

Passo 5

Aplicamos Bernoulli entre as seções 1 e 2 (saída para a atmosfera). Tomando nível de referência em 2 ( z_2=0, z_1=h=6,m) e definindo a pressão monométrica em 1 como \Delta p = p_1 - p_{\rm atm},
p_1 + \tfrac12\rho v_1^2 + \rho g\,z_1 = p_{\rm atm} + \tfrac12\rho v_2^2 + \rho g\,z_2.
Rearranjando para \Delta p:
\Delta p = p_1 - p_{\rm atm} =\tfrac12\rho\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr) -\rho g\,h.
Substituindo \rho=10^3,kg/ m^{3}, v_1=8,m/s, v_2=32,m/s, g=10,m/ s^{2}, h=6,m:
\Delta p =\tfrac12\cdot10^3\,(32^2 - 8^2) -10^3\cdot10\cdot6 =\tfrac12\cdot10^3\cdot960 -6\times10^4 =480\,000 - 60\,000 =420\,000\text{ Pa}.

Resposta

(a) V\approx8,14\times10^2, m^{3}
(b) v_2\approx32{,}0,m/s
(c) p_1 - p_{\rm atm}\approx4,20\times10^5,Pa) (pressão monométrica)

Exercícios relacionados