Exercício 3: Considere uma lâmina de corrente, \mathbf{K}=10 ây \mathrm{A} / \mathrm{m}, no plano \mathrm{z}=0. Determine o fluxo magnético que atravessa a área retangular definida pelos seguintes pontos: ( 0,0,1 ); (0,0,2) ;(0,2,2) e (0,2,1).

Passo 1

O que o problema pede: determinar o fluxo magnético que atravessa o retângulo cujos vértices são (0,0,1), (0,0,2), (0,2,2) e (0,2,1).\n
Informações dadas:\n
  • A lâmina de corrente está no plano \,z=0 e tem densidade superficial de corrente \mathbf{K}=10\,\hat{y}\\ \mathrm{A/m}.\n
  • Os vértices do retângulo têm x=0, y variando de 0 a 2 e z variando de 1 a 2. Portanto o retângulo está no plano x=0 (plano yz) e totalmente no semiespaço z>0.\n
  • O que precisamos calcular é o fluxo magnético \Phi através dessa superfície retangular, isto é
\Phi=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.

Passo 2

Entendendo a lâmina de corrente e o campo magnético que ela produz (a teoria importante para a prova).\n
  • A densidade superficial de corrente \mathbf{K} tem unidade \mathrm{A/m} e representa corrente por unidade de comprimento numa superfície infinitamente fina. Aqui \mathbf{K}=K\,\hat{y} com K=10.\n
  • Para uma lâmina infinita de corrente uniforme no plano \,z=0, por simetria o campo magnético \mathbf{B} fora da lâmina é uniforme em cada lado e aponta paralelamente ao plano da lâmina. Mais especificamente, para uma lâmina com corrente ao longo de \hat{y} temos \mathbf{B} na direção \pm\hat{x}.\n
  • Para obter o módulo de \mathbf{B} usamos a forma integral da Lei de Ampère aplicada a um laço retangular que atravessa a lâmina. Seja um laço com lados de comprimento l paralelos a \hat{x} e altura simétrica em relação a z=0. A contribuição ao integral de linha vem apenas dos lados paralelos a \hat{x}, e temos:
\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = B_{\text{acima}}\,l - B_{\text{abaixo}}\,l = \mu_{0} I_{\text{enc}}.
A corrente encerrada pelo laço é I_{\text{enc}}=K\,l (pois a corrente superficial atravessa o laço com densidade K e comprimento l). Assim
\bigl(B_{\text{acima}}-B_{\text{abaixo}}\bigr)l=\mu_{0}K\,l\quad\Rightarrow\quad B_{\text{acima}}-B_{\text{abaixo}}=\mu_{0}K.
Por simetria, os módulos do campo nos dois lados têm mesma magnitude e sinais opostos, ou seja B_{\text{acima}}=-B_{\text{abaixo}}. Então
2B_{\text{acima}}=\mu_{0}K\quad\Rightarrow\quad B_{\text{acima}}=\frac{\mu_{0}K}{2}.
  • Conclusão prática: para z>0 (acima da lâmina) o campo é
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}K}{2}\,\hat{x}.
(onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.)

Passo 3

Aplicando o resultado ao nosso retângulo: todos os pontos do retângulo têm z entre 1 e 2, portanto estão acima da lâmina ( z>0). Logo o campo magnético sobre toda a superfície é uniforme e vale
\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}K}{2}\,\hat{x}.
Se quiser o valor numérico do módulo de \mathbf{B},
\frac{\mu_{0}K}{2}=\frac{4\pi\times10^{-7}\cdot 10}{2}=2\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

Determinar o vetor de área da superfície retangular.\n
  • A superfície está no plano x=0 (plano yz), portanto um vetor normal unitário é \hat{n}=\pm\hat{x}. Vou escolher \hat{n}=+\hat{x} (sentido positivo em x).\n
  • A área da superfície é o produto das extensões em y e z:
A=(y_{\max}-y_{\min})(z_{\max}-z_{\min})=(2-0)(2-1)=2\\ \mathrm{m^{2}}.
  • O vetor de área é \,d\mathbf{A}=\hat{n}\,dA e, por ser superfície plana e o campo uniforme, podemos usar \Phi=\mathbf{B}\cdot\hat{n}\,A.

Passo 5

Calcular o fluxo magnético.\n
  • Como \mathbf{B}=\dfrac{\mu_{0}K}{2}\,\hat{x} e \hat{n}=+\hat{x}, tem-se \mathbf{B}\cdot\hat{n}=\dfrac{\mu_{0}K}{2}.\n
  • Portanto o fluxo é
\Phi=\left(\frac{\mu_{0}K}{2}\right)A=\left(\frac{\mu_{0}K}{2}\right)\cdot 2=\mu_{0}K.
  • Substituindo os valores numéricos,
\Phi=\mu_{0}K=4\pi\times10^{-7}\cdot 10=4\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}.
  • Valor aproximado:
\Phi\approx 1{,}256637\times10^{-5}\\ \mathrm{Wb}.

Resposta

\Phi=4\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{Wb}\approx 1{,}2566\times10^{-5}\\ \mathrm{Wb}

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