Exercício 3: Considere uma lâmina de corrente,
ây
, no plano
. Determine
fluxo magnético que atravessa a área retangular definida pelos seguintes pontos: (
);
e
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar o fluxo magnético que atravessa o retângulo cujos vértices são
,
,
e
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- A lâmina de corrente está no plano
e tem densidade superficial de corrente .\n - Os vértices do retângulo têm
, variando de a e variando de a . Portanto o retângulo está no plano (plano ) e totalmente no semiespaço .\n - O que precisamos calcular é o fluxo magnético
através dessa superfície retangular, isto é
Passo 2
Entendendo a lâmina de corrente e o campo magnético que ela produz (a teoria importante para a prova).\n
- A densidade superficial de corrente
tem unidade e representa corrente por unidade de comprimento numa superfície infinitamente fina. Aqui com .\n - Para uma lâmina infinita de corrente uniforme no plano
, por simetria o campo magnético fora da lâmina é uniforme em cada lado e aponta paralelamente ao plano da lâmina. Mais especificamente, para uma lâmina com corrente ao longo de temos na direção .\n - Para obter o módulo de
usamos a forma integral da Lei de Ampère aplicada a um laço retangular que atravessa a lâmina. Seja um laço com lados de comprimento paralelos a e altura simétrica em relação a . A contribuição ao integral de linha vem apenas dos lados paralelos a , e temos:
A corrente encerrada pelo laço é
(pois a corrente superficial atravessa o laço com densidade
e comprimento
). Assim
Por simetria, os módulos do campo nos dois lados têm mesma magnitude e sinais opostos, ou seja
. Então
- Conclusão prática: para
(acima da lâmina) o campo é
(onde
.)
Passo 3
Aplicando o resultado ao nosso retângulo: todos os pontos do retângulo têm
entre
e
, portanto estão acima da lâmina (
). Logo o campo magnético sobre toda a superfície é uniforme e vale
Se quiser o valor numérico do módulo de
,
Passo 4
Determinar o vetor de área da superfície retangular.\n
- A superfície está no plano
(plano ), portanto um vetor normal unitário é . Vou escolher (sentido positivo em ).\n - A área da superfície é o produto das extensões em
e :
- O vetor de área é
e, por ser superfície plana e o campo uniforme, podemos usar .
Passo 5
Calcular o fluxo magnético.\n
- Como
e , tem-se .\n - Portanto o fluxo é
- Substituindo os valores numéricos,
- Valor aproximado: