Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de
em torno de um planeta de massa
. No afélio, a uma distância de
do centro do planeta, a velocidade angular do satélite é
. Qual é a velocidade angular do satélite no periélio?
Passo 1
Vamos analisar o problema: Temos um satélite orbitando em uma trajetória elíptica ao redor de um planeta com massa
kg. O período da órbita é
segundos. No afélio (ponto mais distante), a distância do satélite ao centro do planeta é
metros e sua velocidade angular é
rad/s. Precisamos descobrir qual é a velocidade angular do satélite no periélio (ponto mais próximo).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de órbitas elípticas e conservação do momento angular. Vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em uma órbita elíptica, o momento angular do satélite é constante. O momento angular
é dado por:
Onde:
-
é a distância do satélite ao centro do planeta -
é a velocidade angular
Como o momento angular é constante, podemos igualar o momento angular no afélio ao momento angular no periélio:
Aqui:
-
m (afélio) -
rad/s -
é a distância no periélio que precisamos encontrar -
é a velocidade angular no periélio que queremos descobrir
Passo 3
Para encontrar
, precisamos usar a relação entre o período orbital
e o semi-eixo maior
da órbita. Pela terceira lei de Kepler:
Onde:
-
(constante gravitacional) -
kg (massa do planeta)
Rearranjando para encontrar
:
Vamos calcular
:
Passo 4
Sabemos que em uma órbita elíptica, a soma das distâncias do afélio
e do periélio
é igual a duas vezes o semi-eixo maior:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Agora que temos
, podemos usar a conservação do momento angular para encontrar
:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade angular do satélite no periélio é aproximadamente
rad/s.