Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de 8,0 times 10^4 s em torno de um planeta de massa 7,00 times 10^24 kg. No afélio, a uma distância de 4,5 times 10^7 m do centro do planeta, a velocidade angular do satélite é 7,158 times 10^-5 rad / s. Qual é a velocidade angular do satélite no periélio?

Passo 1

Vamos analisar o problema: Temos um satélite orbitando em uma trajetória elíptica ao redor de um planeta com massa 7,00 times 10^24 kg. O período da órbita é 8,0 times 10^4 segundos. No afélio (ponto mais distante), a distância do satélite ao centro do planeta é 4,5 times 10^7 metros e sua velocidade angular é 7,158 times 10^-5 rad/s. Precisamos descobrir qual é a velocidade angular do satélite no periélio (ponto mais próximo).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de órbitas elípticas e conservação do momento angular. Vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em uma órbita elíptica, o momento angular do satélite é constante. O momento angular L é dado por:
L = r^2 cdot omega
Onde:
  • r é a distância do satélite ao centro do planeta
  • omega é a velocidade angular
Como o momento angular é constante, podemos igualar o momento angular no afélio ao momento angular no periélio:
ra^2 cdot omegaa = rp^2 cdot omegap
Aqui:
  • ra = 4,5 times 10^7 m (afélio)
  • omegaa = 7,158 times 10^-5 rad/s
  • rp é a distância no periélio que precisamos encontrar
  • omegap é a velocidade angular no periélio que queremos descobrir

Passo 3

Para encontrar rp, precisamos usar a relação entre o período orbital T e o semi-eixo maior a da órbita. Pela terceira lei de Kepler:
T = 2pi raiza^3G M
Onde:
  • G = 6,674 times 10^-11 , N cdot m^2 / kg^2 (constante gravitacional)
  • M = 7,00 times 10^24 kg (massa do planeta)
Rearranjando para encontrar a:
a^3 = G M T^24pi^2
Vamos calcular a:
a^3 = 6,674 times 10^-11 times 7,00 times 10^24 times (8,0 times 10^4)^24pi^2
a^3 approx 6,674 times 10^-11 times 7,00 times 10^24 times 6,4 times 10^939,478
a^3 approx 2,986 times 10^2339,478 approx 7,566 times 10^21 , m^3
a approx raiz[3]7,566 times 10^21 approx 4,23 times 10^7 , m

Passo 4

Sabemos que em uma órbita elíptica, a soma das distâncias do afélio ra e do periélio rp é igual a duas vezes o semi-eixo maior:
ra + rp = 2a
Substituindo os valores conhecidos:
4,5 times 10^7 + rp = 2 times 4,23 times 10^7
rp = 8,46 times 10^7 - 4,5 times 10^7 = 3,96 times 10^7 , m

Passo 5

Agora que temos rp, podemos usar a conservação do momento angular para encontrar omegap:
omegap = ra^2 cdot omegaarp^2
Substituindo os valores:
omegap = (4,5 times 10^7)^2 times 7,158 times 10^-5(3,96 times 10^7)^2
omegap = 2,025 times 10^15 times 7,158 times 10^-51,568 times 10^15 approx 1,448 times 10^111,568 times 10^15 approx 9,24 times 10^-5 , rad/s

Resposta

A velocidade angular do satélite no periélio é aproximadamente 9,24 times 10^-5 rad/s.

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