Um satélite X está em órbita circular em torno de um planeta P. O seu periodo de translação é de 32 dias e o seu raio é R. Um segundo satélite, S, também em órbita circular em torno do planeta P, tem seu período de translação T e raio de órbita igual a 4 R. Calcule, em dias, o período de translação T do satélite $S.

Passo 1

O enunciado dá dois satélites em órbita circular ao redor de um mesmo planeta P. O satélite X tem raio de órbita R e período de translação 32 dias. O satélite S tem raio de órbita 4R e período T (desconhecido). O conteúdo necessário é a terceira lei de Kepler para órbitas circulares, que diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio da órbita.

Passo 2

Escrevemos a relação de proporcionalidade entre os períodos e os raios:
\frac{T_{S}^{2}}{T_{X}^{2}} = \frac{r_{S}^{3}}{r_{X}^{3}}.

Passo 3

Substituímos T_{X}=32 dias, r_{X}=R e r_{S}=4R:
T_{S}^{2} = 32^{2}\,\frac{(4R)^{3}}{R^{3}} = 32^{2}\cdot 4^{3} = 32^{2}\cdot 64.

Passo 4

Calculamos T_{S}:
T_{S} = 32\sqrt{64} = 32\cdot 8 = 256.

Resposta

256 dias

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