Scattering of the
wave by a hard sphere
We wish to study the phase shift
produced by a hard sphere on the
wave
. In particular, we want to verify that it becomes negligible compared to
at low energy.
. Write the radial equation for the function
for
. Show that its general solution is of the form:
where
and
are constants.
We wish to study the phase shift
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação radial para a função $ u_{k,1}® $ quando $ r > r_0 $ na dispersão de uma onda $ p $ por uma esfera dura. Isso está ligado ao estudo de como partículas se comportam quando esbarram em um obstáculo, usando conceitos de mecânica quântica e dispersão de ondas. Para resolver isso, vamos precisar da equação de Schrödinger na forma radial e entender um pouco sobre equações diferenciais envolvendo momento angular $ l = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação radial da equação de Schrödinger para um potencial zero (já que fora da esfera dura não tem potencial) é dada por:
Aqui, $ u_{k,l}® $ é a parte radial da função de onda, $ k $ está relacionado à energia da partícula, e $ l $ é o número quântico angular. No nosso caso, $ l = 1 $ porque estamos lidando com uma onda $ p $.
Então, substituindo $ l = 1 $ na equação:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar a solução geral $ u_{k,1}® $. Sabemos que, para equações desse tipo, as soluções são combinações de funções trigonométricas que levam em conta o termo $ \frac{2}{r^2} $.
As soluções independentes dessa equação são:
Portanto, a solução geral é uma combinação linear dessas soluções:
Aqui, $ C $ e $ a $ são constantes que serão determinadas com base nas condições de contorno do problema.
Resposta
A solução geral para $ u_{k,1}® $ é: