Scattering of the p wave by a hard sphere
We wish to study the phase shift de produced by a hard sphere on the p wave (l=1). In particular, we want to verify that it becomes negligible compared to de at low energy.
alpha. Write the radial equation for the function uk, 1(r) for r>r0. Show that its general solution is of the form:
uk, 1(r)=C[sin k rk r-cos k r+a(cos k rk r+sin k r)]
where C and a are constants.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever a equação radial para a função $ u_{k,1}® $ quando $ r > r_0 $ na dispersão de uma onda $ p $ por uma esfera dura. Isso está ligado ao estudo de como partículas se comportam quando esbarram em um obstáculo, usando conceitos de mecânica quântica e dispersão de ondas. Para resolver isso, vamos precisar da equação de Schrödinger na forma radial e entender um pouco sobre equações diferenciais envolvendo momento angular $ l = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação radial da equação de Schrödinger para um potencial zero (já que fora da esfera dura não tem potencial) é dada por:
d^2 uk,ldr^2 + (k^2 - l(l+1)r^2) uk,l(r) = 0
Aqui, $ u_{k,l}® $ é a parte radial da função de onda, $ k $ está relacionado à energia da partícula, e $ l $ é o número quântico angular. No nosso caso, $ l = 1 $ porque estamos lidando com uma onda $ p $.
Então, substituindo $ l = 1 $ na equação:
uk,l(r)

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar a solução geral $ u_{k,1}® $. Sabemos que, para equações desse tipo, as soluções são combinações de funções trigonométricas que levam em conta o termo $ \frac{2}{r^2} $.
As soluções independentes dessa equação são:
  1. uk,1(r)
  2. 2r^2
Portanto, a solução geral é uma combinação linear dessas soluções:
sin(kr)kr
Aqui, $ C $ e $ a $ são constantes que serão determinadas com base nas condições de contorno do problema.

Resposta

A solução geral para $ u_{k,1}® $ é:
uk,1(r)

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