Scattering of the
wave by a hard sphere
We wish to study the phase shift
produced by a hard sphere on the
wave
. In particular, we want to verify that it becomes negligible compared to
at low energy.
. Show that the definition of
implies that:
We wish to study the phase shift
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o espalhamento de uma onda $ p $ (com momento angular $ l=1 $) por uma esfera rígida e queremos mostrar que o parâmetro $ a $ é igual a $ \tan \delta_{1}(k) $, onde $ \delta_{1}(k) $ é o deslocamento de fase causado pela esfera. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de espalhamento, especialmente a teoria de ondas parciais e deslocamentos de fase.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em teoria de espalhamento, a solução da equação de onda para uma partícula que se espalha por um alvo pode ser decomposta em ondas parciais com diferentes momentos angulares $ l $. Cada uma dessas ondas parciais tem um deslocamento de fase $ \delta_l(k) $ causado pelo potencial do alvo. No nosso caso, estamos focando na onda $ p $ com $ l=1 $.
Passo 3
A solução da equação de onda para cada componente de momento angular $ l $ pode ser escrita como:
Aqui, $ k $ é o número de onda relacionado à energia da partícula, e $ r $ é a distância da partícula ao centro da esfera.
Passo 4
Para o caso específico de $ l=1 $, temos:
Podemos reescrever isso usando a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 5
A função de onda no limite $ r \to \infty $ deve corresponder a uma onda plana mais uma onda espalhada. A parte espalhada para o componente $ l=1 $ pode ser relacionada ao parâmetro $ a $ na seguinte forma:
Onde $ f_1(k) $ é a amplitude de espalhamento para o $ l=1 $.
Passo 6
A amplitude de espalhamento geral para um momento angular $ l $ é dada por:
Simplificando, temos:
Portanto, para $ l=1 $:
Passo 7
Comparando a expressão geral com a definição específica do parâmetro $ a $:
E sabemos que:
Portanto, podemos igualar as duas expressões:
Passo 8
Cancelando $ \frac{1}{k} $ dos dois lados da equação, obtemos:
Resposta
Assim, mostramos que $ a = \tan \delta_{1}(k) $.