Um bastão homogêneo de comprimento L e massa M está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Um pequeno projétil de massa m é disparado horizontalmente com velocidade v0 e atinge o bastão a uma distância d de seu centro de massa. O projétil fica embutido no bastão após a colisão.
Determine a fração da energia cinética inicial do projétil que é convertida em energia cinética rotacional do sistema após o impacto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um bastão homogêneo de comprimento $ L $ e massa $ M $ que está parado sobre uma superfície sem atrito. Um projétil de massa $ m $ é disparado com velocidade $ v_0 $ e acerta o bastão a uma distância $ d $ do centro do bastão, ficando embutido nele após a colisão. Nosso objetivo é descobrir qual fração da energia cinética inicial do projétil se transforma em energia cinética rotacional do sistema bastão + projétil após o impacto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação do momento angular e energia cinética rotacional. Precisamos entender como a colisão afeta o movimento do bastão e do projétil juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no momento angular antes e depois da colisão. Como não há atrito, não tem torque externo atuando no sistema, então o momento angular total se conserva.
O momento angular inicial ($ L_{inicial} $) é só do projétil, já que o bastão está parado:
Linicial

Passo 3

Depois da colisão, o projétil fica preso no bastão, formando um sistema que gira com uma certa velocidade angular $ \omega omega é I $) do sistema bastão + projétil precisa ser calculado para usar na conservação do momento angular.
Para o bastão homogêneo girando em torno de seu centro:
I ã
E para o projétil, que está a uma distância $ d $ do centro:
Ibastão = 112 M L^2 é
Então, o momento de inércia total é:
d ãé

Passo 4

Aplicando a conservação do momento angular:
Linicial = Lfinal
m cdot v0 cdot d = I cdot omega
Aí a gente resolve para $ \omega $:
omega

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional ($ KE_{rot} $) do sistema após a colisão:
KErot
Substituindo $ \omega $ da equação anterior:
KErot = 12 I omega^2
omega

Passo 6

A energia cinética inicial do projétil é:
KEinicial = 12 m v0^2
Queremos a fração dessa energia que virou energia rotacional, então dividimos $ KE_{rot} $ por $ KE_{inicial} $:
KErot çã

Passo 7

Simplificando a expressão:
Fração = m d^2112 M L^2 + m d^2 çã

Resposta

A fração da energia cinética inicial do projétil que se transforma em energia cinética rotacional do sistema após o impacto é:
m d^2112 M L^2 + m d^2

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