Sejam f(u, v)=7 u v-u, u=ln (-7 x^2+8 y) e v=4 x y^3. Determine partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f em relação a x e y, onde
f(u,v)=7uv - u,
com
u=ln(-7x^2+8y)
e
v=4xy^3
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de f em relação a u e v:
partial fpartial u=7v-1,
partial fpartial v=7u

Passo 3

Agora derivamos u=ln(-7x^2+8y):
partial upartial x= rac1-7x^2+8ycdot(-14x)=-14x-7x^2+8y,
partial upartial y= rac1-7x^2+8ycdot8=8-7x^2+8y

Passo 4

Em seguida derivamos v=4xy^3:
partial vpartial x=4y^3,
partial vpartial y=12x y^2

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial x= racpartial fpartial upartial upartial x+partial fpartial vpartial vpartial x,
partial fpartial y=partial fpartial upartial upartial y+partial fpartial vpartial vpartial y

Passo 6

Finalmente substituímos todos os pedaços (onde 7v-1=28xy^3-1 e u=ln(-7x^2+8y)) e obtemos as fórmulas em x,y:
partial fpartial x=(28xy^3-1)-14x-7x^2+8y+28y^3ln(-7x^2+8y),
partial fpartial y=(28xy^3-1)8-7x^2+8y+84xy^2ln(-7x^2+8y)

Resposta

partial fpartial x=(28xy^3-1),-14x-7x^2+8y+28y^3,ln(-7x^2+8y),
partial fpartial y=(28xy^3-1),8-7x^2+8y+84xy^2,ln(-7x^2+8y)

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