Scjam P=(4,2) c r: 4 x+y-2=0. Determino:
a) Uma equação geral da reta perpendicular à r e que contenha P;
b) dist(P, r), a distância de P a r;
c) O ponto Q tal que dist(P, Q)=dist(P, r).

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(4,2) e a reta
r:;4x + y - 2 = 0
Precisamos (i) achar a equação de uma reta perpendicular a r que passe por P, (ii) calcular a distância de P até r e (iii) encontrar o ponto Q em r que fica exatamente a essa distância de P. Tudo é matéria de geometria analítica: equação de reta, distância ponto-reta e projeção ortogonal.

Passo 2

Para achar a reta perpendicular a r que passa em P, notamos que um vetor normal a r é nr=(4,1). Esse mesmo vetor é direção da reta perpendicular. Logo o coeficiente angular é
mperp = 14
Usando a forma ponto-reta em P:
y - 2 = 14(x - 4)
Multiplicando por 4 e reorganizando em forma geral:
4y - 8 = x - 4 Longrightarrow x - 4y + 4 = 0

Passo 3

A distância de P=(4,2) até a reta r:4x+y-2=0 é dada por
dist(P,r) = l|4cdot 4 + 1cdot 2 -2r|raiz4^2+1^2 = |16+2-2|raiz17 = 16raiz17

Passo 4

O ponto
Da segunda, (x = 4y - 4]. Substituindo na primeira:

Então

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Resposta

a) x - 4y + 4 = 0
b) 16raiz17
c) Q = l(tfrac417,,tfrac1817r)

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