Sea el conjunto
Encontrar, en caso que exista, supremo, máximo, ínfimo y mínimo del conjunto A .
Encontrar, en caso que exista, supremo, máximo, ínfimo y mínimo del conjunto A .
Passo 1
Tenemos el conjunto A = {x ∈ ℝ | \frac{-5x-15}{-4x^2-12x+40} ≥ 0}. O tema aqui é inequações de funções racionais: vamos precisar fatorar numerador e denominador, achar zeros, estudar sinal em cada intervalo e depois extrair supremo, máximo, ínfimo e mínimo.
Passo 2
Primeiro fatoramos numerador e denominador. Temos
Passo 3
Dividindo os sinais, a inequação fica
[ \frac{-5(x+3)}{-4(x+5)(x-2)} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x+3}{(x+5)(x-2)} \ge 0,
pois -5/(-4)>0.
pois -5/(-4)>0.
Passo 4
Agora identificamos os pontos críticos: numerador zero em x=-3 (aqui o quociente é zero e pode entrar na solução), e denominador zero em x=-5 e x=2 (esses valores são excluídos do domínio). Isso nos dá os intervalos: (-∞, -5), (-5, -3), (-3, 2), (2, ∞).
Testando o sinal em cada intervalo:
Testando o sinal em cada intervalo:
- Em (-∞,-5): f(x)<0
- Em (-5,-3): f(x)>0
- Em (-3,2): f(x)<0
- Em (2,∞): f(x)>0
e em x=-3 f(x)=0. Portanto a solução da inequação é
Passo 5
Para supremo, máximo, ínfimo e mínimo de A: o menor valor limite é -5 (não está em A), e não existe elemento mínimo; não há maior vetor finito (A é não limitado acima), logo supremo é +∞ (e não existe máximo).
Resposta
inf(A) = -5, não existe mínimo; sup(A) = +∞, não existe máximo