Sea el conjunto A=x in R / -5 x-15-4 x^2-12 x+40 >= 0
Encontrar, en caso que exista, supremo, máximo, ínfimo y mínimo del conjunto A .

Passo 1

Tenemos el conjunto A = {x ∈ ℝ | \frac{-5x-15}{-4x^2-12x+40} ≥ 0}. O tema aqui é inequações de funções racionais: vamos precisar fatorar numerador e denominador, achar zeros, estudar sinal em cada intervalo e depois extrair supremo, máximo, ínfimo e mínimo.

Passo 2

Primeiro fatoramos numerador e denominador. Temos
-5x-15 = -5(x+3), -4x^2-12x+40 = -4l(x^2+3x-10r) = -4(x+5)(x-2)

Passo 3

Dividindo os sinais, a inequação fica
[ \frac{-5(x+3)}{-4(x+5)(x-2)} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x+3}{(x+5)(x-2)} \ge 0,
pois -5/(-4)>0.

Passo 4

Agora identificamos os pontos críticos: numerador zero em x=-3 (aqui o quociente é zero e pode entrar na solução), e denominador zero em x=-5 e x=2 (esses valores são excluídos do domínio). Isso nos dá os intervalos: (-∞, -5), (-5, -3), (-3, 2), (2, ∞).
Testando o sinal em cada intervalo:
  • Em (-∞,-5): f(x)<0
  • Em (-5,-3): f(x)>0
  • Em (-3,2): f(x)<0
  • Em (2,∞): f(x)>0
    e em x=-3 f(x)=0. Portanto a solução da inequação é
A = (-5, -3] cup (2, infty)

Passo 5

Para supremo, máximo, ínfimo e mínimo de A: o menor valor limite é -5 (não está em A), e não existe elemento mínimo; não há maior vetor finito (A é não limitado acima), logo supremo é +∞ (e não existe máximo).

Resposta

inf(A) = -5, não existe mínimo; sup(A) = +∞, não existe máximo

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